рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Системе координат

Системе координат - раздел Военное дело, Задачи, приводящие к двойным интегралам Осуществим В Двойном Интеграле ...

Осуществим в двойном интеграле , заданном в декартовой системе координат, замену переменных по формулам перехода к полярной системе координат: , . В этом случае подынтегральная функция будет зависеть от полярных координат и : . Пусть область такова, что любой луч, выходящий из начала координат и проходящий через внутреннюю точку области, пересекает границуне более, чем в двух точках . Линии, ограничивающие область, имеют уравнения , , где , . Такую область, применительно к полярной системе координат, будем называть правильной (см. рис.).

 

 

Поскольку предел интегральной суммы не зависит от способа разбиения фигуры на элементарные, подобное разбиение можно осуществить с помощью лучей , проходящих через начало координат, и концентрических окружностей с центрами в начале координат. При пересечении двух окружностей радиусов ,и лучей, проведенных под углами и , образуется элементарная криволинейная фигура . Ее, с точностью до бесконечно малых высшего порядка, можно рассматривать как прямоугольник со сторонами , и , площадь которого .


Следовательно, двойной интеграл в полярных координатах имеет вид

 

.

 

Итак, если область является правильной применительно к полярным координатам, то вычисление двойного интеграла сводится к вычислению двукратного интеграла по переменным и . Для расстановки пределов интегрирования из полюса проводят ограничивающие лучи и , записывают уравнения линий входа в область (AMВ) и выхода из нее (АКВ) . Тогда , .

Как правило, внешний интеграл вычисляется по переменной , а внутренний — по . На основании изложенного имеет место следующая формула вычисления двойного интеграла в полярных координатах:

,

при этом лучи и , и кривые , ограничивают фигуру , по которой осуществляется вычисление двойного интеграла.

Пример.Вычислить двойной интегралпо области , ограниченной линиями: , , ,.

Решение. Изобразим на рисунке заданную область интегрирования.

 

 

Если рассматривать данную область как стандартную относительно оси , то область интегрирования необходимо разбить на две области, а повторный интеграл представить как сумму двух интегралов, так как снизу функция выражена двумя аналитическими выражениями (и ), то область интегрирования необходимо разбить на две области, а повторный интеграл представить как сумму двух интегралов. Аналогичная ситуация возникнет и для оси . При этом, как и в первом случае, так и во втором мы придем к необходимости нахождения достаточно сложных интегралов. Так как линиями, частично ограничивающими область , являются окружности, имеет смысл перейти к полярной системе координат.

 

Перейдем к полярным координатам по формулам:

, .

Тогда уравнение в полярных координатах запишется в виде:

.

Уравнение получит вид:

.

Ограничение в полярных координатах будет иметь вид:

.

Аналогично .

Подынтегральная функция примет вид: .

 

Область является правильной применительно к полярным координатам, следовательно, можем использовать формулу:

.

Получаем:

.


– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Задачи, приводящие к двойным интегралам

Задачи приводящие к двойным.. Вычисление двойного интеграла в прямоугольных Декартовых..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Системе координат

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Определение двойного интеграла
  Задача об объеме цилиндроида.Рассмотрим тело с основанием , лежащим в плоскости

Свойства двойного интеграла
Двойной интеграл обладает свойствами, аналогичными свойствам определенного интеграла. Отметим лишь основные из них:   1. Если функции

Декартовых координатах
  Пусть требуется вычислить двойной интеграл , где область — прямоуг

Тройной интеграл
По аналогии с двойным интегралом вводится понятие тройного интеграла. Рассмотрим ограниченную замкнутую пространственную область и определен

Определение криволинейного интеграла второго рода
  Напомним, что если сила постоянна (по величине и по направлению), а путь

Криволинейный интеграл второго рода в координатной форме
  При определении криволинейного интеграла второго рода элементарная работа силы

Формула Грина
Формула Грина устанавливает связь между двойным интегралом по области и криволинейным интегралом по контуру

От пути интегрирования
  Рассмотрим криволинейный интеграл   , взятый по некоторой плоской кривой

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги