рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ Для студентов всех форм обучения по направлениям 151000.62 «Технологические машины и оборудование» 190600.62 «Эксплуатация транспортно-технологических машин и комплексов»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ Для студентов всех форм обучения по направлениям 151000.62 «Технологические машины и оборудование» 190600.62 «Эксплуатация транспортно-технологических машин и комплексов» - раздел Философия, Министерство Образования И Науки Российской Федерации   ...

министерство образования и науки российской федерации

 

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ СЕРВИСА И ЭКОНОМИКИ

 

Кафедра «Техническая механика»

 

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Для студентов всех форм обучения по направлениям

151000.62 «Технологические машины и оборудование»

190600.62 «Эксплуатация транспортно-технологических машин и комплексов»

Санкт–Петербург

Г.

Одобрено на заседании кафедры «Техническая механика», протокол № 5 от 27 января 2012 года.

 

Теоретическая механика. Методические указания к выполнению контрольных работ. СПбГУСЭ, 2012. – 216 с.

 

Методические указания к выполнению контрольных работ содержат 15 заданий по статике, кинематике и динамике. Каждое задание содержит разделы: цели;базовые понятия теории и методические рекомендации по решению задач; примеры решения задач;задания (30 вариантов);вопросы для самоконтроля (защиты контрольных работ).

Предназначены для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям 151000.62 «Технологические машины и оборудование» и 190600.62 «Эксплуатация транспортно-технологических машин и комплексов». Могут быть использованы для обучения студентов других специальностей.

 

 

Cоставитель: к.в.н., доц. В.Н. Шабаев

 

Рецензент: к.т.н., доцент В.С. Цепелев

 

 

Введение……………………………………………………………...5 Глава 1. Статика……………………………………………………...9
С-1. Определение усилий в стержнях плоской конструкции……..9
С -2. Определение реакций опор балок при действии плоской произвольной системы сил...............................................................24
C-3. Определение реакций опор плоской составной конструкции………………………………………………………...37
С-4. Определение реакций опор при действии пространственной системы сил…………………………………....47
С-5. Определение координат центра тяжести плоских фигур …..62   Глава 2. Кинематика………………………………………………...75   К-6. Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом………………………………..75 К-7.Определение кинематических характеристик поступательного и вращательного движений твердого тела….....88   К-8. .Определение кинематических характеристик плоского механизма…………………………………………………………..102 К-9. Определение скорости и ускорения точки в сложном движении………………………………………………..115   Глава 3. Динамика…………………………………………….…...130   Д-10. Решение второй задачи динамики точки……………….…130   Д-11. Исследование поступательного движения механической системы с применением теоремы о движении центра масс………………………………………….….145   Д-12. Определение динамических характеристик движения механической системы с использованием теоремы об изменении кинетической энергии………………………………...163   Д-13. Исследование движения механической системы с применением общего уравнения динамики……………………...186   Д-14. Исследование движения механической системы с применением уравнений Лагранжа второго рода………...……..200   Литература………………………………………………………....215  

 

ВВЕДЕНИЕ

Теоретическая механика–фундаментальная естественно-научная дисциплина, лежащая в основе современной техники. На общих законах теоретической механики и вариационных принципах аналитической механики базируются такие дисциплины как (или разделы дисциплин): «Сопротивление материалов», «Детали машин и основы конструирования», а также большое число специальных инженерных дисциплин.

Изучение теоретической механики способствует формированию системы фундаментальных знаний, позволяющей будущему специалисту научно анализировать проблемы его профессиональной деятельности, использовать на практике приобретенные им базовые знания, самостоятельно, используя современные образовательные и информационные технологии, овладевать той новой информацией, с которой ему придется столкнуться в производственной и научной деятельности.

Цели дисциплины– сформировать у студентов в тесной связи с другими дисциплинами основы инженерных знаний и привить им навыки технического мышления; дать знания основ расчета и проектирования машин и механизмов, основные представления о характере равновесия и движения механических систем; подготовить студентов к практической работе по проведению расчетов при эксплуатации технологических машин и оборудования; развивать логическое и математическое мышление, обеспечивающее обоснованное решение задач по специальности; вырабатывать у студентов навыки на создание конкурентно-способной продукции машиностроения и основанной на применении современных методов и средств проектирования, расчета, математического, физического и компьютерного моделирования.

В результате изучения дисциплины студент должен:

· Знать:

- реакции связей, условия равновесия плоской и пространственной систем сил, теорию пар сил; кинематические характеристики точки, частные и общие случаи движения точки и твердого тела; дифференциальные уравнения движения точки; общие теоремы динамики, теорию удара (ОК-10);

- область применения законов, теорем и принципов механики для изучения дисциплин профессионального цикла (ПК-1).

· Уметь:

- использовать законы и методы теоретической механики как основы описания и расчетов механизмов транспортных и транспортно-технологических машин и оборудования ОК-10);

- решать типовые задачи по статике, кинематике, динамике, прилагать полученные знания для решения соответствующих конкретных задач техники (ПК-1);

- составлять математические модели путем написания уравнений равновесия тела, механической системы или уравнений движения материальных объектов (ПК-2).

· Владеть навыками:

- элементами расчета теоретических схем механизмов транспортных и транспортно-технологических машин и оборудования (ОК-1);

- самостоятельно строить и исследовать математические и механические модели технических систем (ПК-2);

- применения аналитических и численных методов исследования, использования возможностей современных компьютеров и информационных технологий (ПК-18).

Контрольные работы выполняются по трём разделам теоретической механики в соответствии с указаниями преподавателя. Номер варианта задачи выбирается в соответствии с порядковым номером студента в учебном журнале (журнале преподавателя).

Прежде чем приступить к решению задачи необходимо:

1. Изучить теоретический материал по теме задания;

2. Ознакомиться с указаниями по выполнению задания;

3. Рассмотреть решение типовой задачи, предложенной в методических указаниях;

4. Уяснить содержание задачи, проанализировать её и найти наилучший вариант решения.

Решенные задачи оформляются на бумаге для машинописных работ формата А4 в соответствии с требованиями ЕСКД.

Пример оформления титульного листа приведен ниже.

Чертеж к задаче должен быть выполнен карандашом. Чертеж должен быть наглядным и аккуратным, его размеры должны позволять показать кинематические и силовые характеристики тела или механической системы. Решение задач следует сопровождать пояснениями (на основании каких теорем, свойств, формул решается задача), подробно демонстрировать весь ход расчетов. Формулы и уравнения необходимо нумеровать в пределах одной задачи. Записи вести только на лицевой стороне листа. Расчеты проводить с соблюдением правил приближенных вычислений. Результаты вычислений рекомендуется заносить в таблицу ответов.

Выполненная и исправленная после проверки преподавателем работа подлежит защите. Во время защиты контрольной работы студент должен:

- показать знание теоретического материала по данному разделу;

- объяснить и обосновать решение задачи;

- уметь решать короткие задачи по теме контрольной работы.

 

Образец титульного листа

 

 

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ СЕРВИСА И ЭКОНОМИКИ

 

Институт сервиса автотранспорта, коммунальной и бытовой техники

 

Кафедра технической механики

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №___

ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ

Номер зачетной книжки _____

 

Номер варианта_____

 

Работу выполнил студент _____группы А.Н.Шигин

Работу проверил доцент В.Н. Шабаев

Санкт-Петербург

Глава 1. СТАТИКА

С-1. Определение усилий в стержнях плоской конструкции

1.1. Цель: отработка навыков решения задач на равновесие
системы сходящихся сил.

Базовые понятия теории и методические

Рекомендации по решению задач

Теоретическая механика изучает общие законы механического движения и механического взаимодействия материальных тел. Традиционно курс теоретической… Теоретическая механика использует свои понятия и определения для… Материальная точка - материальное тело, размеры которого в рассматриваемых конкретных условиях можно не учитывать.…

Реакции связей

  Сходящимися называются силы, линии действия которых пересекаются в одной… Условие равновесия в геометрической форме: для равновесия системы сходящихся сил необходимо и доста­точно, чтобы…

Примеры решения задач

 

Задача 1.3.1. В шарнире В кронштейна АВС подвешен груз весом Р=100 Н. Определить усилия в стержнях кронштейна, если a = 1100, b=300, g = 400. Стержни прикреплены к стене шарнирно (рис. 1.1, а).

Решение.Аналитический способ. Объектом равновесия следует считать шарнир В, так как он объединяет оба стержня и через него проходит линия действия активной силы (рис. 1.1, б).

 

Рис. 1.1

 

Применяя принцип освобождаемости от связей, мысленно отбросим стержни и заменим их действие на шарнир В реакциями, считая при этом все стержни растянутыми (усилия направлены внутрь стержней). Активную силу перенесем вдоль линии действия и приложим в шарнире.

Так как все силы лежат в одной плоскости, то необходимо показать две координатные оси. Систему отсчета изобразим так, чтобы ее начало находилось в точке В, ось х направим горизонтально и влево, а ось y – вертикально и вниз.

К объекту равновесия приложена система сходящихся сил, поэтому для ее равновесия необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая этих сил равнялась нулю.

.

Для составления уравнений равновесия необходимо записать два уравнения проекций системы сил. Проекцией силы на какую-либо ось называется алгебраическая величина, равная произведению модуля силы и косинуса угла, который вектор силы образует с положительным направлением оси. Если угол, который сила образует с осью, острый, то проекция имеет знак «+», если тупой – то «–», если сила перпендикулярна оси, то ее проекция на данную ось равна нулю.

 

;

.

 

Определение неизвестных величин. Подставляя в уравнения равновесия значения и , а также используя формулу приведения , запишем:

 

;

.

 

Тогда из первого выражения имеем

.

 

Произведя подстановку значения S1 во второе выражение, определим S2:

или

.

 

Зная значение , находим :

 

.

 

В результате усилие во втором стержне получено со знаком «–», это означает, что стержень 2 не растянут, а сжат. Положительное значение усилия в стержне 1 подтверждает правильность нашего предположения о том, что он растянут.

Графический способ. Изобразив в произвольном масштабе вектор заданной силы , проводим через его начало и конец прямые, параллельные независимым реакциям и , причем не имеет значения, какую прямую провести через начало заданной силы, а какую – через ее конец (рис. 1.2). Точка пересечения линий, параллельных неизвестным реакциям, определяет третью вершину треугольника.

 

Рис. 1.2

 

Совершая обход треугольника в направлении заданной силы , показываем реакции стержней. Модули и определяются по теореме синусов.

откуда

В силовом треугольнике получаем истинное направление реакций: направлена так же, как и на расчетной схеме (рис. 1.2, б), то есть стержень 1 растянут, а реакция направлена в противоположную сторону, что означает – стержень 2 сжат.

 

Задания С-1

 

Найти усилия в опорных стержнях 1 и 2 аналитическим и графическим способами. Вес груза G=10 кН.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вопросы для самоконтроля

(защиты контрольной работы)

 

1. Что называют связью? В чем заключается сущность принципа освобождаемости от связей?

2. Перечислите основные типы опор, для которых линия действия реакция известны.

3. Как направлена реакция опорного шарнира, если твердое тело соединено с опорой с помощью стержня, имеющего на концах шарниры?

4. Как определяется направление равнодействующей системы сходящихся сил при построении силового многоугольника?

5. Каковы условия и каковы уравнения равновесия системы сходящихся сил, расположенных в пространстве и в плоскости?

6. Как формулируется план решения задач статики на равновесие сил?

7. При каком условии три непараллельные силы, приложенные к твердому телу, уравновешиваются?

8. Каково условие равновесия трех параллельных сил, приложенных к твердому телу?

9. Возможно ли равновесие трех сходящихся сил, не лежащих в одной плоскости?

C-2. Определение реакций опор балок при действии

Плоской произвольной системы сил

2.1. Цель: отработка навыков решения задач на равновесие тел под действием произвольной плоской системы сил.

 

Базовые понятия теории и методические

Рекомендации по решению задач

  . Плечом силы относительно точки называется кратчайшее расстояние от этой точки до линии действия силы. В международной…

Примеры решения задач

Задача 2.3.1. Определить реакции RA и RB опор балки, размеры и нагрузки которой показаны на рис.2.5, а.

 

 

Рис. 2.5

 

Решение.1. Составление расчетной схемы. Объект равновесия – балка АС. Задаваемые силы: F = 3 кH, пара сил с M = 4 кH∙м, распределенная нагрузка с интенсивностью q = 1 кН/м, которую заменяем одной сосредоточенной силой Rq = q∙1=13 = 3 кH, приложенной к точке D на расстоянии 1,5 м от края консоли. Применяя принцип освобождаемости от связей, изобразим в точках А и В реакции. На балку действует плоская произвольная система сил, в которой три неизвестных реакции и .Ось х направим вдоль горизонтальной оси балки вправо, а ось у -вертикально вверх.

2. Условия равновесия:

.

3. Составление уравнений равновесия:

, (1)

, (2)

. (3)

4. Определение искомых величин, проверка правильности решения и анализ полученных результатов. Решая систему уравнений (1 – 3), определяем неизвестные реакции

из (1):

 

кН,

 

из (3): ,

 

из (2): кН.

 

Величина реакции RAх имеет отрицательный знак, значит направлена не так, как показано на рис. 2.5, а в противоположную сторону.

Для проверки правильности решения составим уравнение суммы моментов относительно точки Е.

.

Подставив в это уравнение значения входящих в него величин, получим:

- 0,58 ∙ 1 – 4 + 5,02 ∙ 3 – 3 ∙ 3,5 = 0.

Уравнение удовлетворяется тождественно, что подтверждает правильность решения задачи.

Задача 2.3.2. На балку с защемленным концом (рис. 2.6, а) действует распределенная по линейному закону нагрузка интенсивностью q = 0,2 кН/м. Сила F = 10 кH действует под углом α = 45о к оси балки, кроме того, приложена пара сил с моментом М = 4 кH ∙м. Определить реакцию заделки.

 

а) б)

Рис. 2.6

Решение.

Связью, наложенной на балку АВ, является жесткая заделка А. Применяя принцип освобождаемости от связей к балке АВ, заменим действие этой заделки на… 2. Условия равновесия: .

Задания С-2

 

Для представленных на схемах 1 – 30 тел определить реакции опор. Приведенные на схемах нагрузки имеют следующие величины: вес груза G = 10 кН, F = 10 кН, момент пары сил М = 20 кНм, интенсивность распреде­ленной силы q = 5 кН/м, а также qтах = 5 кН/м. Размеры указаны в метрах. Весом тела следует пренебречь.

 

 

 

Вопросы для самоконтроля

(защиты контрольной работы)

 

1. Что такое произвольная плоская система сил?

2. Что называется моментом силы?

3. Как вычисляется момент силы относительно точки на плос­кости?

4. Что называется парой сил?

5. Какими свойствами обладают пары сил?

6. Каково число независимых уравнений равновесия для произвольной плоской системы сил?

7. По какому правилу определяется направление реакций связей?

 

 

C-3. Определение реакций опор плоской составной

Конструкции

3.1. Цель: отработка навыков решения задач на равновесие
cоставной конструкции при действии плоской произвольной системы сил

Базовые понятия теории и методические рекомендации по решению задач

Составная конструкция, состоящая из двух тел, соединенных шар­ниром содержит четыре неизвестные реакции опор. Так как для одного тела под действием… 1-й способ. 1. Разбить систему на два тела по сочленяющему шарниру. В месте разбиения приложить реакции отброшенной части. Внешние…

Примеры решения задач

Задача 3.3.1. Конструкция состоит из двух невесомых балок, шарнирно соединенных в точке С (рис. 3.1). Балка АС опирает­ся в точке В на шарнирно-неподвижную опору и удержи­вается на левом конце стержнем. Балка CD опи­рается правым концом на абсолютно гладкую плоскость, составляющую угол α = 60° с горизонтом. На систему дей­ствует пара сил с моментом М = 20 кНм и равномерно распределенная нагрузка с интенсивностью q = 2 кН/м. Определить реакции опор и усилие, передаваемое через шарнир. Геометрические размеры даны в метрах.

Рис. 3.1 Рис. 3.2

Решение. Если рассмотреть равновесие всей кон­струкции в целом, освободиться от связей и ввести реак­ции, учитывая, что реакция стержня направлена по стержню, реакция шарнирно-неподвижной опоры имеет неизвестное направление и ее следует разложить на составляющие по осям, а реакция при опирании тела на абсолютно гладкую плоскость пер­пендикулярна этой плоскости (нормальная реакция), то расчетная схема будет иметь вид, показанный на рис. 3.2.

Здесь распределенная нагрузка заменена сосредоточен­ной силой

 

.

 

Система сил на схеме имеет четыре неизвестных, сле­довательно, они не могут быть определены из трех уравне­ний для плоской системы сил.

 

Рис. 3.3

 

Для решения задачи расчленим конструкцию на отдель­ные тела, мысленно разделив ее по шарниру, через который передается усилие неизвестного направления (рис. 3.3).

При направлении составляющих ХC и YC для левой и правой балок учтена аксиома равенства действия и противодействия. Введенные силы:

 

.

 

Уравнения для правой части:

∑Xi= 0: - XC– RDsinα = 0;

∑Yi = 0: - YC – Q2 + RD cosα = 0;

∑MDi = 0: YC ∙ 4 + Q2 ∙ 2 = 0;

Отсюда

YC = – 4 кН; RD = 8 кН; XC = – 4кН.

 

Уравнения для левой части:

 

∑Xi = 0: XB + XC = 0;

∑Yi= 0: RA+ YB– Q+ YC= 0;

∑MBi= 0: - RA∙ 5 – M– Q1∙ 1 + YC∙ 2 = 0;

 

Отсюда

ХB = 4кН; RA = – 6,4 кН; YB = 14,4 кН.

 

Для проверки правильности полученного решения мож­но составить уравнения равновесия для всей конструкции (рис. 3.2):

 

Задача 3.3.2. Конструкция состоит из двух тел, соединенных шарнирно в точке С. Тело АС закреплено с помощью заделки, тело ВС имеет шарнирно-подвижную опору (рис. 3.4). На тела системы действуют распределенная по линейному закону сила с максималь­ной интенсивностью qтах = 2 кН/м, сила F = 4 кН под углом α = 30o и пара сил с моментом М = 3 кНм. Геомет­рические размеры указаны в метрах. Определить реакции опор и усилие, пе­редаваемое через шарнир. Вес элемен­тов конструкции не учитывать.

 

Рис. 3.4 Рис. 3.5

 

Решение. Если рассмотреть рав­новесие всей конструкции в целом, учитывая, что реакция заделки состо­ит из силы неизвестного направления и пары, а реакция опоры перпендикулярна опорной поверхно­сти, то расчетная схема будет иметь вид, представленный на рис. 3.5.

Здесь равнодействующая распреде­ленной нагрузки

 

расположена на расстоянии двух метров (1/3 длины AD) от точки А; МА — неизвестный момент заделки.

В данной системе сил четыре неизвестных реакции (ХА, YA, MA, RB), и их нельзя определить из трех уравне­ний плоской системы сил.

Поэтому расчленим систему на отдельные тела по шарниру (рис. 3.6).

 

Рис. 3.6

 

Силу, приложенную в шарнире, следует при этом учи­тывать лишь на одном теле (любом из них). Уравнения для тела ВС:

 

 

Отсюда ХС = – 1 кН; УС = 0; RB = 1 кН.

Уравнения для тела АС:

 

Здесь при вычислении момента силы F относительно точки А использована теорема Вариньона: сила F разло­жена на составляющие Fcos α и Fsin α и определена сум­ма их моментов.

Из последней системы уравнений находим:

ХА = – 1,54 кН; УА = 2 кН; МА = – 10,8 кНм.

Для проверки полученного решения можно составить суммы проекций и моментов сил для всей конструкции (рис.3.5):

 

 

Задания С-3

 

Для представленных на схемах – 30 составных конст­рукций найти реакции опор. Размеры указаны в метрах. Весом элементов конструкций пренебречь.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вопросы для самоконтроля

(защиты контрольной работы)

 

1. Что такое произвольная плоская система сил?

2. Что называется моментом силы?

3. Как вычисляется момент силы относительно точки на плос­кости?

4. Что называется парой сил?

5. Какими свойствами обладают пары сил?

6. Каково число независимых уравнений равновесия для произвольной плоской системы сил?

7. По какому правилу определяется направление реакций связей?

 

C-4. Определение реакций опор вала при действии пространственной произвольной системы сил

4.1. Цель: отработка навыков решения задач на равновесие вала под действием произвольной пространственной системы сил.

Базовые понятия теории и методические

Рекомендации по решению задач

Момент силы относительно точки О изображается вектором ,приложенным в этой точке и направленным перпендикулярно плоскости, содержащей силу и точку,… Если из точки О в точку приложения силы А провести радиус-вектор , то вектор… .

Примеры решения задач

 

Задача 4.3.1. Горизонтальный вал весом G = 15 Н может вращаться в цилиндрических шарнирах А и В (рис. 4.3). К шкиву 1 приложено нормальное давление N и касательная сила сопротивления F = 0,1N.

 

Рис. 4.3

 

На шкив 2 действуют силы натяжения ремней Тг = 30 Н, Т2 = 57 Н. Груз Q = 18 Н висит на нити, навитой на шкив 3. Определить силу давления N и реакции шарниров в условии равновесия вала. Учесть веса шкивов: Рг = 35 Н, Р2 = 10 Н, Р3 = 15 Н. Все нагрузки действуют в вертикальных плоскостях. Известны радиусы шкивов, R1= 26 см, R2 = 10 см, R3 = 11 см и расстояния между характер­ными точками вала: а = 22 см, b = 25 см, с = 26 см, d = 26 см. Общая длина вала L = a + b + c + d; α =30°.

Решение

Рис. 4.4  

Задания С-4

 

Горизонтальный вал весом G может вращаться в цилиндрических шарнирах А и В. К шкиву 1 приложено нормальное давление N и касательная сила сопротивления F, пропорциональная N. На шкив 2 действуют силы натяжения ремней Т1 и Т2. Груз Q висит на нити, навитой на шкив 3. Определить силу давления N и реакции шарниров в условии равновесия вала (в Н). Учесть веса шкивов P1, P2, Р3. Все нагрузки действуют в вертикальной плос­кости. Силы даны в Н, размеры в см.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вопросы для самоконтроля

(защиты контрольной работы)

 

1.Что называется моментом силы относительно точки в пространстве?

2. Что называется моментом силы относительно оси?

3. В каких случаях момент силы относительно оси равен нулю?

4. Чему равно число независимых уравнений равновесия для произвольной пространственной системы сил?

5.Напишите условия и уравнения равновесия пространственной произвольной системы сил.

 

C-5. Определение координат центра тяжести плоских

Фигур

5.1. Цель: отработка навыков решения задач по нахождению площади и координат центра тя­жести плоской фигуры.

Базовые понятия теории и методические рекомендации по решению задач

При решении задач на определение центра тяжести следует помнить, что: а) центр тяжести площади однородного прямоугольника расположен в точке… б) центр тяжести площади однородного треугольника находится в точке пересечения его медиан;

Примеры решения задач

Задача 5.3.1. Найти площадь и координаты центра тяжести плос­кой фигуры. Криволинейный участок контура является половиной окружности с центром на оси Ох (рис. 5.9). Размеры на рисунке даны в метрах.

 

Рис.5.9

 

Решение

Центр тяжести прямоугольника находится в его геометрическом центре, положение центра тяжести других фигур, встречающихся в задачах, изображено на… Рис. 5.10

Задания С-5

 

Найти площадь (в м2) и координаты центра тяжести плоской фигуры (в м). Отметки на осях даны в метрах. Криволинейный участок контура является дугой половины или четверти окружности.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вопросы для самоконтроля

(защиты контрольной работы)

1. Почему система параллельных сил всегда приводится к рав­нодействующей, если главный вектор и главный момент не равны нулю?

2. Запишите векторную формулу для определения центра парал­лельных сил.

3. Что называют статическим моментом системы параллельных сил относительно центра?

3. По каким скалярным формулам можно определить центр тя­жести тела?

4. Перечислите основные методы определения положения цен­тра тяжести тел.

5. В чем заключается метод симметрии?

6. В чем заключается метод разбиения на части?

7. В чем заключается метод отрицательных площадей?

 

Глава 3. КИНЕМАТИКА

К–6. Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом

6.1. Цель: отработка навыков составления уравнений движения точки и определение кинематических характе­ристик движения точки.

Базовые понятия теории и методические рекомендации по решению задач

Движение материальных тел происходит в пространстве и во времени. Пространство рассматривают как трехмерное евклидо­во, время в этом пространстве… Под механическим движением понимают изменение положе­ния одного тела… Системой отсчета называют систему координат, связанную с одним из тел. Если тело движется, то система отсчета…

Касательное ускорение характеризует изменение скорости по модулю, а нормальное — изменение скорости по направлению.

, .  

Примеры решения задач

Задача 6.3.1. Точка М движется по своей траектории согласно уравнениям

х = t2 см; у = sin πt см.

 

Определить траекторию точки М, ее скорость и ускорение в мо­мент времени t1 = 1,5 с. Определить касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории.

Решение. Для определения траектории точки М исключим из уравнений движения время, после чего получим уравнение тра­ектории в виде

Определяем положение точки М в момент времени t1 (рис. 6.2)

 

Для определения скорости точки М вычисляем первые производные от координат по времени, равные проекциям скорости точки на со­ответствующие оси координат:

.

 

Модуль скорости определяем по формуле

 

.

 

Вычисляем проекции вектора скорости точки на оси координат и её модуль в момент времени t1

 

 

Направление вектора скорости определяем при помощи направ­ляющих косинусов

 

В момент времени t1 направляющие косинусы вектора скорости

 

 

т.е. вектор скорости точки направлен параллельно оси Ох.

Для определения ускорения точки М вычисляем первые произ­водные от проекций скорости или вторые производные от координат по времени, равные проекциям ускорения точки на соответствую­щие оси координат:

 

.

 

Модуль ускорения определяем по формуле

 

Проводим вычисления для момента времени t1

Направление вектора ускорения определяем при помощи на­правляющих косинусов

В момент времени t1 направляющие косинусы вектора ускорения

 

Для определения касательного ускорения точки М учтем, что его можно определить как проекцию вектора полного ускорения на направление касательной к траектории

 

.

 

В момент времени t1

м/с2.

 

Для определения нормальной составляющей вектора полного ускорения воспользуемся формулой

м/с2.

 

В данной задаче вектор касательного ускорения совпадает с проекцией вектора полного ускорения на ось Ох, а вектор нормаль­ного ускорения - с проекцией ускорения на ось Оу.

Радиус кривизны траектории определяем, используя формулу для вычисления нормального ускорения

.

В момент времени t1

м.

 

Изображаем все найденные величины на рис. 6.2.

 

Рис. 6.2

 

Задания К-6

 

При задании движения точки М координатным способом x = f1 (t) и y = f2 (t)определить: уравнение и вид траектории движения точки М, положение точки М на траектории в расчетный момент времени t1; скорость точки М в любой момент времени t и в расчетный момент времени t1; полное, касательное и нормальное ускорения точки М в любой момент времени t и в расчетный момент времени t1; радиус кривизны траектории движения точки М;

Исходные данные приведены в таблице 6.1: вариант задания; уравнения движения точки М:

 

x = f1 (t), (см), y = f2 (t), (см);

 

расчетный момент времени t1, (с) для определения положения точки М на траектории, скорости и ускорения точки.

 

Таблица6.1

Вариант задания Уравнения движения точки М Расчетный момент времени t1, с
x = f1 (t), см y = f2 (t), см
1 x = 4t y = 2t - 3t2 2
2 x = 1 - 4t2 y = - 3t 1
3 x = 2t2 + 4t + 1 y = 4t 1
4 x = 6t y = - 2t2 - 4 1
5 x = t2 - 3 y = 5t ¼
6 x = t - 5 y = 6(t + 0,5t2) 2
7 x = t2 y = 2t - 1 1
8 x = 2 + 3t2 y = 4 - 3t 1
9 x = 4t2 + 1 y = 8t 1
10 x = 2t2 + 2 y = - 4t ½
11 x = 3 - 2t2 y = - 5t ½
12 x = 10t - 0,1t2 y = 5t 2
13 x = 3t y = 4t - 5t2 2
14 x = 4t2 + 1 y = 12t - 3 2
15 x = 3t y = 1 + 3t2 1
16 x = 3t2 + 5t y = 5t 2
17 x = 4 - 2t y = ( t + 1)2 1
18 x = 2t +2 y = 3t2 - 2 1
19 x = 10t y = 4 + 5t2 2
20 x = 2t2 y = 4t - 1 ¼
21 x = 5t y = 4,9t2 – 5 1
22 x = 8t y = 2t2 + 1 ½
23 x = 1 - 2t2 y = 3t 1
24 x = -5t + 4 y = 2t2 1
25 x = 2 + sin (p /3)t y = 1 + 3cos (p/3)t ½
26 x = 2 + 3cos (p t) y = 3sin (p t) ½
27 x = 4 sin (p /2)t y = 3cos (p/2)t 1
28 x = 8 cos (p /6)t y = 8sin (p/6)t 1
29 x = 4 cos (p /3)t y = - 3sin (p/3)t 1
30 x = 3 - 6 sin (p /6)t y = 4 - 9cos (p/6)tt 1

Вопросы для самоконтроля

(защиты контрольной работы)

 

1. Что изучает кинематика?

2. Какие задачи решает кинематика?

3. Что называется траекторией точки?

4. Какие существуют способы задания движения точки?

5. Как определить траекторию при векторном способе задания движения точки?

6. В чем заключается естественный способ задания движения?

7. В чем заключается координатный способ задания движения?

8. Как определить траекторию при координатном способе зада­ния движения точки?

9. Как определить скорость точки при разных способах задания движения?

10. Как определить ускорение при векторном способе задания движения?

11. Как определить ускорение при координатном способе зада­ния движения?

12. Как определить ускорение при естественном способе задания движения?

13. Что характеризует касательное ускорение?

14. Что характеризует нормальное ускорение?

15. Какие ускорения имеет точка, двигаясь равномерно по кри­волинейной траектории?

16. Какие ускорения имеет точка при неравномерном и прямо­линейном движении?

17. Какие ускорения имеет точка при криволинейном и нерав­номерном движении?

 

К–7. Определение кинематических характеристик поступательного и вращательного движений твердого тела

7.1. Цель: отработка навыков решения задач по определению кинематических характеристик поступательного и вращательного движений твердого тела.

Базовые понятия теории и методические рекомендации по решению задач

Точки твердого тела, совершающего поступательное движе­ние, перемещаются как по прямолинейным, так и по криволи­нейным траекториям. Основные свойства поступательного движения твердого тела определяются… Поступательное движение твердого тела характеризуется заданием дви­жения одной его точки, обычно цен­тра масс, и может…

Примеры решения задач

 

Задача 7.3.1. Лебедка (рис. 7.1), поднимающая груз по наклонной плоскости, состоит из двух валов с шестернями (зубчатыми колесами), числа зубьев которых равны соот­ветственно z1 = 12 и z2= 48. К валу 2 прикреплен барабан радиусом r= 0,3 м, на который наматывается грузовой трос. Вал 1 вращается равноускоренно с угловым ускоре­нием ε1 = 8 с–2. Определить скорость, ускорение и переме­щение груза, а также ускорение точки В барабана в мо­мент времени t = 1 с. В начальный момент времени систе­ма находилась в покое.

Решение. Найдем угловую скорость ω1 ведущего вала 1 из условия, что оно вращается с угловым ускорени­ем ε1 = const, учитывая, что . Интегрируя послед­нее уравнение по времени, получаем .

Постоянную интегрирования получаем из начального условия: при t= 0 ω1 = 0 (система находилась в покое), следовательно C1 = 0.

 

 

Рис. 7.1

 

Итак, угловая скорость вала 1 определяется уравнени­ем

При t = 1с получаем .

Шестерни 1 и 2 взаимодействуют без проскальзыва­ния. Поэтому скорости точек их касания (точка А) будут одинаковы: .

Отсюда находим угловую скорость ω2 вала 2, учитывая, что :

.

Угловое ускорение вала 2 равно .

Поскольку трос нерастяжим и относительно барабана не проскальзывает, то скорость груза v будет равна скоро­сти любой из точек на ободе барабана, в частности, скоро­сти точки В: v = vB = ω2r = 0,6t=|t=1 c =0,6 м/с.

Ускорение точки В равно векторной сумме вращательного и центростремитель­ного ускорений: .

Направление вращательного ускорения определяется направлением углового ускорения ε2, а его модуль равен м/с2. Центростремительное ускорение на­правлено к оси вращения вала 2 и равно по модулю м/с2.

Модуль ускорения точки В

 

м/с2.

Ускорение груза можно найти, взяв производную по времени от его скорости, так как это касательное ускоре­ние: м/с2.

Перемещение груза определяется интегрированием модуля скорости по времени:

м.

Задача 7.3.2. Маховик радиусом R = 0,5 м вращается так, что его угловая скорость меняется в соответствии с уравнением . Для момента времени t = 0,5 с после нача­ла движения определить скорость и ускорение точки на ободе маховика. Установить, за какое время маховик сде­лает 100 полных оборотов (рис.7.2).

 

Рис. 7.2

Решение. Для момента времени t = 0,5 с получаем ω = 0,680 с–1, и скорость точки на ободе маховика равна v = ωR = 0,340 м/с.

 

Угловое ускорение маховика

.

Ускорение точки на ободе маховика равно сумме двух составляющих ускорений: где — каса­тельное (вращательное) и нормальное (центростремитель­ное) ускорения точки.

Учитывая, что вращательное ускорение равно по мо­дулю , найдем = 0,680 м/с2; центростремительное ускорение . Модуль полного ускорения точки

 

м/с.

 

Направления скорости и ускорений по­казаны на рис. 7.2.

Поскольку значения величин угловой скорости и углового ускорения имеют одинаковые знаки, вращение тела уско­ренное. Соответственно, совпадают по направлению угловая скорость и угловое ускорение тела, а также скорость точки и вращательное ускорение.

Поворот маховика на 100 полных оборотов соответ­ствует углу его поворота φ = 200π рад. Выражение для угла поворота найдем из уравнения .

Имеем

.

 

Итак, , откуда находим t = 2,19 с.

7.4.Задания К–2

При задании уравнения движения x = f (t) груза (тела 1) и радиусам шкивов (тело 2 (R2, r2) и тело 3 (R3, r3)) определить: скорость и ускорение груза (тела 1) в любой момент времени t и в расчетный момент времени t1; скорость и ускорение точки М, принадлежащей телу 3, в любой момент времени t и в расчетный момент времени t1.

Исходные данные приведены в таблице 7.1: вариант задания; радиусы шкивов: тело 2 (R2 (см), r2 (см)) и тело 3 (R3 (см), r3 (см)); уравнения движения груза (тело 1) : x = f (t), (см); расчетный момент времени t1(с) для определения скорости и ускорения груза (тела 1) в момент времени t1, скорости и ускорения точки М, принадлежащей телу 3, в расчетный момент времени t1.

 

Таблица 7.1

    Вариант задания     Радиусы шкивов Уравнения движения груза (тела 1) Расчетный момент времени t1, с  
тело 2 тело 3 x = f1 (t), см  
R2 см r2 см R3 см r3 см
- y = 15t2 +12t + 2
- y = 4t2 +10t + 5
- y = 0,5t2 +6t + 5
- y = 9,5t2 +4t + 4
- y = 6t2 +15t + 3
- y = 6t2 +5t + 8
- y = 11t2 +2t + 6
- y = 6t2 +7t + 10
- y = 7t2 +3t + 5
- y = 10t2 +8t + 9
- y = 16t2 +10t + 5
- y = 22t2 +7
- y = 17t2 +3t + 6
- y = 13t2 +5t + 6
- y = 11t2 +2t + 5
- y = 12t2 +6t + 4
- y = 7t2 +4t + 8
- y = 10t2 +12t + 3
- y = 18t2 +10t + 5
- y = 27t2 +8t + 10
y = 13t2 +5t + 6
- y = 21t2 +6t + 7
y = 18t2 +9t + 5
y = 4t2 +8t + 9
- y = 11t2 +4t + 8
y = 50t2 +14t + 6
y = 42t2 +10t + 5
y = 36t2 +5t + 8
- y = 4t2 +6t + 4
y = 16t2 +5t + 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вопросы для самоконтроля

(защиты контрольной работы)

1. Перечислите основные виды движений твердого тела.

2. Какое движение твердого тела называется поступательным и какими свойствами оно обладает?

3. Какое движение твердого тела называется вращением вокруг неподвижной оси и как оно осуществляется?

4. По каким формулам определяются модули угловой скорости и углового ускорения вращающегося твердого тела?

5. Как направлены векторы угловой скорости и углового ускорения при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси?

6. При каких условиях ускорение точки вращающегося тела составляет с отрезком , соединяющим точку с центром описываемой ею окружности, углы 0, 45, 900?

7. Ускорения каких точек вращающегося тела:

а) равны по модулю,

б) совпадают по направлению,

в) равны по модулю и совпадают по направлению?

8). Каковы векторные выражения вращательной скорости, вращательного и центростремительного ускорений?

9). Что представляет собой передаточное число передачи и как определяется передаточное число сложной передачи?

К–8. Определение кинематических характеристик плоского механизма

8.1. Цель: отработка навыков решения задач по определению кинематических характеристик плоского движения твердого тела.

Базовые понятия теории и методические рекомендации по решению задач

Движение тела определяются тремя уравнениями, называемыми уравнениями плоского движения твердого тела:  

Способы определения мгновенного центра скоростей.

2. Если скорости двух точек А и В плоской фигуры параллельны и не перпендикулярны АВ (рис. 8.2), то мгновенный центр скоростей находится в… Рис. 8.1 Рис. 8.2 Рис. 8.3

Примеры решения задач

 

Задача 8.3.1. Колесо радиуса r = 1 м катится без скольжения уско­ренно по прямолинейному рельсу, имея в данный момент времени скорость центра vo =1 м/с и ускорение центра aо— 1 м/с2 (рис. 8.5). Определить угловую скорость и уг­ловое ускорение колеса, скорости и ускорения точек его обода М1, М2, М3 и М4, а также установить положение МЦС и МЦУ колеса.

 

Рис.8.5 Рис. 8.6

 

Решение.

I. Определение скоростей. У колеса, катящегося без скольжения по неподвижной поверхности, МЦС (точка Р) находится в точке касания с этой поверхностью (рис. 8.6). В данном случае это точка M1 (М1 = Р): .

Скорости точек плоской фигуры пропорциональны рас­стояниям от этих точек до МЦС: , где ω — уг­ловая скорость тела. Применяем эту формулу к точке О: vo =ω|ОР| = ωr, откуда ω = vo/r = 1 с1.

Для точек М2 и М3 расстояния до точки Р одинаковы, поэтому одинаковы и модули скоростей этих точек:

м/с.

Скорость точки М3 м/с. Направления скоростей перпендикулярны отрезкам, со­единяющим точки с МЦС.

Для вычисления скоростей можно было использовать также и теорему о сложении скоростей, выбрав в качестве полюса центр колеса: , где vMO = ω|МО|. Ско­рость перпендикулярна отрезку МО и направлена по ходу вращения.

Можно было также пользоваться и следствием из этой теоремы о равенстве проекций скоростей точек на ось, проходящую через эти точки.

2. Определение ускорений. Вычислим сначала угловое ускорение колеса, формально дифференцируя выражение угловой скорости

.

В данном случае использован тот факт, что движение центра колеса прямолинейное и, следовательно, касатель­ное ускорение точки совпадает с полным ускоре­нием.

Для вычисления ускорений точек колеса применим теорему о сложении ускорений: , выбрав в качестве полюса центр колеса. Вращательное ускорение точки относительно полюса и направлено перпендикулярно отрезку МО по ходу угло­вого ускорения а центростремительное все­гда направлено от точки к полюсу.

Тогда для точек М1, М2, М3 и М4 получим , . Направления их показаны на рис. 8.7.

 

 

Рис. 8.7 Рис. 8.8

 

Складывая в каждой точке три вектора, модули кото­рых равны по 1 м/с2, получаем м/с2, м/с2.

3. Определение положения МЦУ. Найти положение МЦУ (точки Q, ускорение которой равно нулю) можно на основании известных положений:

а) все ускорения составляют один и тот же угол β с направлениями из этих точек на МЦУ:

.

В данном случае tg β = 1 и β = 45°. Повернув каждое ускорение на угол β по ходу углового ускорения, мы на пересечении лучей и получим точку Q (рис. 8.8). Итак, МЦУ колеса при принятых исходных данных оказывает­ся на середине отрезка М1M4;

б) ускорения точек пропорциональны расстояниям от этих точек до МЦУ:

.

В силу одинаковости расстояний до МЦУ в данном слу­чае оказываются равны между собой модули ускорений , а также . Из всех точек колеса самое большое ускорение будет иметь точка D (рис.8.8):

.

 

Задача 8.3.2. Кривошип OA длиной 0,2 м вращается рав­номерно с угловой скоростью ωOA = 10 с–1 и при­водит в движение шатун АВ длиной 1 м. Пол­зун В движется по вертикали. Найти угловую скорость и угловое ускорение шатуна, а также скорость и ускорение ползуна в момент, когда кривошип и шатун взаимно перпендикулярны и образуют с вертикалью угол 45° (рис. 8.9).

Решение.

1. Определение скоростей. Вычис­лим скорость точки А как точки вра­щающегося кривошипа:

.

 

Она направлена перпендикулярно ОА (рис. 8.10).

 

Рис. 8.9 Рис. 8.10 Рис. 8.11

 

Скорость vB ползуна направлена по направляющей вертикально.

Для шатуна АВ, совершающего плоское движение, теперь известны направления скоростей двух его то­чек: А и В. Восставляя перпендику­ляры к векторам этих скоростей, на­ходим точку Р их пересечения — МЦС шатуна.

Используя известную формулу для скоростей точек при плоском движении, получаем ; .

Из треугольника АВР имеем |АР| = 1 м; |ВР| = м, и тогда

 

.

 

2. Определение ускорений. Вычислим сначала ускоре­ние точки А как точки кривошипа: .

Здесь вращательное ускорение , так как , поскольку .

Тогда полное ускорение точки А равно центростремительному

и направлено к оси вращения — точке О (рис. 8.11).

Для вычисления ускорения точки В воспользуемся тео­ремой о сложении ускорений, взяв точку А в качестве полюса:

. (*)

Центростремительное ускорение точки В в относи­тельном вращении вокруг точки А по модулю равно , и направлено от точки В к полю­су — точке А.

Модуль вращательного ускорения определяется по формуле и пока не может быть вычислен, поскольку неизвестна величина углового ускорения . Направление вектора также не может быть определе­но однозначно, так как неизвестно направление углового ускорения, т. е. неизвестно, ускоренным или замедлен­ным является поворот шатуна. Примем пока этот поворот ускоренным, тогда направление совпадет с направле­нием , а вектор направим перпендикулярно от­резку ВА по ходу углового ускорения.

Вектор ускорения точки В направлен по вертикальной прямолинейной направляющей. Будем пока считать дви­жение ползуна ускоренным и направим ускорение в ту же сторону, что и скорость (рис. 8.10, 8.11).

Теперь в равенстве (*) все ускорения имеют определен­ное направление, и мы можем записать это уравнение в проекциях на выбранные оси:

 

.

 

Из последнего уравнения получаем , тогда из первого уравнения

.

Отсюда следует, что

.

Отрицательные знаки у величин и показывают, что их истинные направления противоположны принятым.

Задания К-8

 

Для представленных на схемах 1— 30 механизмов, состоя­щих из шатуна АВ длиной 2 м и двух ползунов, по заданным величинам скорости и ускорения ползуна А определить ско­рость и ускорение ползуна В и средней точки С шатуна, а также угловую скорость и угловое ускорение шатуна.

 

 

 

 

Вопросы для самоконтроля

(защиты контрольной работы)

 

1. Какое движение твердого тела называется плоским?

2. Из каких движений состоит плоское движение твердого тела и какое движение зависит от выбора полюса?

3. Запишите уравнения плоского движения твердого тела.

4. Как определить скорость любой точки плоской фигуры?

5. Как определить вращательную скорость точки плоской фигу­ры относительно полюса?

6. Что называется мгновенным центром скоростей?

7. Как определить мгновенный центр скоростей?

8. Как определить скорость любой точки плоской фигуры, если известен мгновенный центр скоростей?

9. Как определить ускорение любой точки плоской фигуры?

10. Какая точка называется мгновенным центром ускорений?

К–9. Определение скорости и ускорения точки в сложном движении

9.1. Цель: отработка навыков определения скоростей и ускорений точек при сложном движении.

Базовые понятия теории и методические рекомендации по решению задач

Абсолютной скоростью называют скорость точки М относи­тельно основной системы координат и обозначают . Относительной скоростью называют скорость точки М относи­тельно подвижной… Переносной скоростью называют скорость той точки подвиж­ной системы координат, с которой в данный момент совпада­ет…

Примеры решения задач

 

Задача 9.3.1. Тело D движется поступательно вдоль оси х так, что координата некоторой его точки меняется как xD = t3 + t2, м (рис. 9.1).

По желобу ОА, который представляет собой дугу ок­ружности радиуса R = 20 м тела движется точка М так, что длина дуги |ОМ| = s = 5πt, м. Для момента времени t = 1 с определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М.

Решение.

1. Определение . Согласно тео­реме о сложении скоростей, абсо­лютная скорость равна векторной сумме относительной и переносной скоростей: .

Относительную скорость точки (скорость по отношению к телу D) находим, вычисляя ее алгебраиче­ское значение как производную от дуговой координаты по времени: , и при t = 1с по­лучаем .

Чтобы определить направление этой скорости, следует установить, где находится точка М в данный момент времени.

Вычисляя длину дуги |OM|t=1c= 5π м, определяем значение угла α: — точка М находится в середине дуги ОА (рис.9.2).

 

Рис. 9.1 Рис. 9.2

 

Скорость точки направляем по касательной к ее траектории (окружности) в сторону увеличения длины дуги, так как алгебраическое значение скорости положи­тельно.

Переносной скоростью по определению будет скорость той точки тела D, с которой в данный момент времени совпадает точка М.

В имеющемся случае поступательного движения тела скорости всех его точек одинаковы (это скорость тела D), и тогда, поскольку движение прямолинейное, переносную скорость можно найти как производную от координаты:

 

,

 

и при t=1 с получаем =5 м/с. Направлена она по оси х, так как vex > 0.

Складывать векторы и удобнее всего с помо­щью проекций. Проецируя равенство на оси (рис. 9.2), получаем

 

и окончательно

.

 

2. Определение . Согласно теореме Кориолиса, абсо­лютное ускорение равно векторной сумме относительного, переносного и кориолисова ускорений:

.

В данном случае кориолисова ускорения не будет, так как переносное движение поступательное и его угловая скорость ωе = 0.

Относительное ускорение в общем случае будет скла­дываться из вращательного и центростремительного: .

Вращательное относительное ускорение вычисляем через производную от алгебраического значения скорос­ти: м/с и .

Ускорение направлено туда же, куда и скорость так как знаки их алгебраических значений совпадают (ускоренное движение).

Центростремительное относительное ускоре­ние находим через скорость и ра­диус кривизны траектории:

 

.

Оно направлено к центру окружно­сти желоба (рис. 9.3).

 

Рис. 9.3

 

Переносное ускорение (поскольку движение тела D поступательное и прямолинейное) ищем, дифференцируя найденную ранее переносную скорость

,

и при t = 1 с имеем ае = 8 м/с2. Это ускорение совпадает по направлению с . Проецируя на оси уравнение , получим проекции вектора абсолютного ускорения:

И окончательно:

 

Задача 9.3.2. Тело D вращается в плоскости рисунка (рис. 9.4) во­круг оси Ох так, что его угол поворота равен

рад.

Рис. 9.4 Рис. 9.5

 

По желобу тела ОА движется точка М так, что алгеб­раическое значение длины дуги равно

ОМ =s = (25πt2 – 5πt) см.

 

Желоб является окружностью радиусом R = 20 см, расстояние |OA| = b = 10 см. Для момента времени t = 1 с определить абсолютную скорость и абсолютное ускоре­ние точки М.

Решение.

1. Определение . По теореме о сложении скоростей имеем .

Относительную скорость точки (скорость по отноше­нию к телу D) находим, вычисляя ее алгебраическое значение как производную от дуговой координаты по време­ни: и .

Чтобы найти ее направление, установим, где находится точка М. При t = 1 с, получив ОМ = 20π см, устанавлива­ем, что длина дуги составляет половину длины окружно­сти, то есть точка М находится в точке А желоба (рис. 9.5).

Скорость точки направляем по касательной к ее траектории (окружности) в сторону увеличения длины дуги, так как алгебраическое значение скорости положительно.

Переносной скоростью по определению будет скорость той точки вращающегося тела D, с которой совпадает точ­ка М, то есть скорость точки А:

,

где алгебраическое значение угловой скорости переносного движения равно

.

Таким образом, при t = 1 с получаем и ve = 0,40 м/с. Алгебраическое значение угловой скорости положительно, следовательно, вращение происходит по направлению угла поворота. Переносная скорость направ­лена перпендикулярно отрезку О1А по ходу вращения.

Поскольку векторы и направлены противополож­но, то модуль абсолютной скорости равен va = vrve ≈ 1,01 м/с.

2.Определение.По теореме Кориолиса

или

. (*)

Вычислим и покажем на рисунке все пять ускорений (рис.9.6).

Относительное ускорение вычисляем через его алгебраическое значение: см/с2≈ 1,57 м/с2.

Ускорение направлено туда же, куда и скорость , так как знаки их алгебраиче­ских значений совпадают (ус­коренное движение): . Относительное центростремительное ускорение направлено к центру желоба и равно его модулю

 

м/с2.

 

Рис. 9.6

Переносное ускорение в данном случае — это ускоре­ние точки А тела D.

Так как алгебраическое значение углового ускорения равно его модулю

,

 

то переносное вращательное ускорение получается

м/с2.

Оно направлено перпендикулярно О1A по ходу углово­го ускорения, и поскольку алгебраические значения угло­вой скорости и углового ускорения совпадают по знаку (ускоренное вращение), следовательно, совпадает с .

Переносное центростремительное ускорение направле­но к оси О1 и равно

м/с2.

 

Кориолисово ускорение , и его модуль равен

.

 

Так как вектор угловой скорости тела лежит на оси вращения, то в данном случае он перпендикулярен плоско­сти чертежа и угол между ним и вектором относительной скорости равен 90°. Тогда .

Направление кориолисова ускорения может быть най­дено или по общему правилу для векторного произведе­ния, или по правилу Жуковского. В нашем случае достаточно повернуть скорость на 90° по ходу вращения тела.

Сложение векторов произведем с помощью проекций. Спроецировав равенство (*) на оси, получим

и окончательно

.

 

Задания К-9

 

В приведенных ниже схемах 1— 30 рассматривается движение точки М в желобе вращающегося тела. По за­данным в таблице уравнениям относительного движения OM(t), переносного движения φ(t) и геометрическим раз­мерам определить абсолютную скорость и абсолютное уско­рение точки в указанный момент времени.

 

 

Таблица 9.1

 

 

 

 

 

Вопросы для самоконтроля

(защиты контрольной работы)

 

1. Какое движение точки называют сложным?

2. Какое движение точки называют абсолютным?

3. Какое движение точки называют относительным?

4. Какое движение точки называют переносным?

5. Сформулируйте и запишите теорему о сложении скоростей.

6. Сформулируйте и запишите теорему о сложении ускорений.

7. Что характеризует ускорение Кориолиса?

8. Как определить модуль вектора ускорения Кориолиса?

9. Сформулируйте правило Жуковского.

10. В каких случаях ускорение Кориолиса равно нулю?

11. Запишите теорему о сложении ускорений в случае поступа­тельного переносного движения.

 

Глава 3. ДИНАМИКА

Д–10. Решение второй задачи динамики точки

 

10.1. Цель: приобретение практических навыков составления и интегрирования дифференциальных уравнений движения материальной точки.

 

Базовые понятия теории и методические рекомендации по решению задач

Движение материальной точки массы т под действием систе­мы сил (), происходящее относительно инерциальной системы отсчета, описывается уравнением … , (10.1) где - ускорение точки. Если точка является несвободной, то в правую часть соотношения (10.1) входят также реакции…

Вторая (обратная) задача.

Зная действующие на точку силы, ее массу и начальные условия движения, определить закон движения точки или какие-либо другие ее кинематические характеристики.

Начальные условия движения точки в декартовых осях — это координаты точки и проекции начальной скорости на эти оси в момент време­ни, соответствующий началу движения точки и принимаемый обычно равным нулю.

Решение задач этого типа сводится к составлению диффе­ренциальных уравнений (или одного уравнения) движения ма­териальной точки и их последующему решению путем непо­средственного интегрирования или с использованием теории дифференциальных уравнений.

Вторую задачу динамики рекомендуется решать в следующем порядке:

1. Выбрать систему координат.

2. Изобразить на расчётной схеме материальную точку в произ­вольном положении и действующие на неё силы, включая реакции связей (при несвободном движении точки).

3. Составить дифференциальные уравнения движения точки.

4. Записать начальные условия движения.

5. Построить общее решение дифференциальных уравнений движения.

6. Определить постоянные интегрирования по начальным усло­виям.

7. Подставив постоянные интегрирования в общее решение, оп­ределить закон движения точки.

При свободном движении материальной точки удобно пользо­ваться прямоугольной декартовой системой координат.

При криволинейном движении несвободной материальной точ­ки удобно составлять проекции дифференциальных уравнений на естественные оси.

Примеры решения задач

Задача 10.3.1. Груз 3 массы т поднимается по наклонной плоско­сти, образующей с горизонтом угол , при помощи лебедки, со­стоящей из пары зубчатых колес 7, 2 и барабана радиуса r2 (рис. 10.1). Колесо 1 приводится во вращение электромотором. Барабан жестко скреплен с колесом 2. Определить натяжение троса, пренеб­регая его деформацией, если колесо 1 вращается с угловым ускоре­нием . Радиусы колес R1 и R2. Коэффициент трения груза о плос­кость равен f. Массой троса пренебречь.

Рис. 10.1

 

Решение. Определим ускорение груза. Поскольку деформацией троса пренебрегаем, то

,

где - угловое ускорение барабана.

Однако

,

поэтому

. (10.8)

Полагая груз материальной точкой, освободим его от связей, за­менив их действие силами реакции. Изобразим силы, действующие m груз (рис. 10.2): силу тяжести , реакцию троса , нормальную реакцию плоскости и силу трения .

Составим дифференциальные уравнения движения груза в про­екциях на оси координат:

(10.9)

Из первого уравнения . Следовательно,

.

 

Рис. 10.2

Из второго уравнения систе­мы (10.9)

.

Подставляя сюда значение силы трения и учитывая, что (10.8), получаем

.

Натяжение троса численно равно реакции S.

 

Задача 10.3.2.В железнодорожных скальных выемках для защиты кюветов от попадания в них с откосов каменных осыпей устраивается «полка» DC. Учитывая возможность движения камня из наивысшей точки А откоса и полагая при этом его начальную скорость , определить наименьшую ширину полки b и скорость , с которой камень падает на нее. По участку АВ откоса, составляющему угол α с горизонтом и имеющему длину l, камень движется τ с. Коэффициент трения скольжения f камня на участке АВ считать постоянным, а сопротивлением воздуха пренебречь.

Дано: . Определить b и (рис. 10.3).

 

Рис. 10.3

Решение. Задачу разделим на два этапа. Первый – движение камня на участке АВ, второй – движение камня от точки В до С.

Первый этап. 1. Составление расчетной схемы. Ось проводим по направлению движения камня, ось - перпендикулярно к оси . Камень принимаем за материальную точку и показываем ее в текущем положении, изображаем действующие на камень (точку) силы: вес , нормальную реакцию и силу трения скольжения (рис. 10.4).

2.Выявление начальных условий.

При .

 

Рис. 10.4

 

3.Составление дифференциальных уравнений движения точки. Так как точка (камень) движется прямолинейно, то при направлении оси х вдоль траектории получим одно дифференциальное уравнение движения

 

;

 

сила трения

,

тогда

;

;

.

 

4.Интегрирование дифференциальных уравнений движения. Интегрируя дифференциальное уравнение дважды, получаем:

 

;

;

;

;

;

;

.

5.Определение постоянных интегрирования. Подставим начальные условия, т.е. в уравнения:

;

;

.

6.Нахождение неизвестных величин и исследование полученных результатов. После подстановки постоянных интегрирования С1 и С2 получаем уравнение скорости и уравнение движения:

;

.

Для момента времени τ, когда камень покидает участок АВ,

,

т.е.

;

.

 

Умножим первое уравнение на τ/2, после этого разделим его на второе. В результате получим:

 

; ;

.

Второй этап. Движение камня от точки В до точки С.

1.Составление расчетной схемы. Координатные оси покажем так, как это удобно для решения задачи, в нашем случае ось х параллельна горизонтали и проходит через точку В, ось у направляем вниз через точку В. Камень принимаем за материальную точку, показываем ее в текущем положении, изображаем действующую на камень силу тяжести (рис. 10.4).

2. Выявление начальных условий движения. При :

.

3.Составление дифференциальных уравнений движения. Так как движение точки происходит в плоскости ху, то число уравнений движения равно двум:

.

4.Интегрирование дифференциальных уравнений движения. Интегрируем дифференциальные уравнения дважды:

(a)

; (б)

(в)

. (г)

5. Определение постоянных интегрирования. Подставляем начальные условия: в уравнения (а – г):

,

откуда

.

6.Нахождение искомых величин и исследование полученных результатов. После подстановки постоянных интегрирования в уравнения (а –г) получаем следующие уравнения проекций скорости камня:

и уравнения его движения

.

Уравнение траектории камня найдем, исключив параметр t из уравнений движения:

;

– уравнение параболы.

В момент падения . Определим d из уравнения траектории:

; ;

 

.

 

Так как траекторией движения камня является ветвь параболы с положительными абсциссами ее точек, то d=2,11 м.

Минимальная ширина полки

.

Используя уравнение движения камня , найдем время Т движения камня от точки В до точки С

.

Скорость камня при падении найдем через проекции скорости на оси координат:

по формуле

.

 

Для момента падения t=T=0,53 c

 

.

Скорость камня при падении равна 12,8 м/с.

 

Задания Д-10

Варианты 1—5 (рис. 10.5). Тело движется из точки А по участку АВ (длиной l) наклонной плоскости, составляющей угол с горизонтом, в течение т.е.. Его начальная скорость . Коэффициент трения скольжения тела по плоскости равен f.

В точке B тело покидает плоскость со скоростью и попадает со скоростью в точку С плоскости BD, наклоненной под углом к горизонту, находясь в воздухе T с.

При решении задачи тело принять за материальную точку; сопро­тивление воздуха не учитывать.

Вариант 1. Дано: = 30°; = 0; f = 0,2; l = 10 м; = 60°. Определить и h.

Вариант 2. Дано: = 15°; = 2 м/с; f = 0,2; h = 4 м; = 45°. Определить l и уравнение траектории точки на участке ВС.

Вариант 3. Дано: = 30°; = 3,5 м/с; f ; l = 4 м; d = 10 м; = 60°. Определить и .

Вариант 4. Дано: = 0; = 2 с; l = 9,8 м; = 60°; f = 0. Определить и T.

Вариант 5. Дано: = 30°; = 0; l = 9,8 м; = 3 с; = 45°. Определить и .

Варианты 6—10 (рис. 10.6). Лыжник подходит к точке А участка трамплина АВ, наклоненного под углом к горизонту и имеющего длину l, со скоростью . Коэффициент трения скольжения лыж на участке АВ равен f. Лыжник от A до В движется с; в точке В со скоростью он покидает трамплин. Через Т с лыжник приземляется со скоростью в точке С горы, составляющей угол с горизонтом.

При решении задачи принять лыжника за материальную точку и не учитывать сопротивление воздуха.

Вариант 6. Дано: = 20°; = 0,1; = 0,2 с; h = 40 м; = 30°. Определить l и .

Вариант 7. Дано": = 15°; = 0,1; = 16 м/с; l = 5 м; = 45°. Определить и T. .

Вариант 8. Дано: = 21 м/с; = 0; = 0,3 с; = 20 м/с; = 60°. Определить и d.

Вариант 9. Дано: = 15°; = 0,3 с; = 0,1; h = м; = 45°. Определить и .

Вариант 10. Дано: = 15°; = 0; - 12 м/с; d = 50 м; = 60°. Определить и уравнение траектории лыжника на участке ВС.

Варианты 11—15 (рис. 10.7). Имея в точке А скорость , мотоцикл поднимается т с по участку АВ длиной l, составля­ющему с горизонтом угол . При постоянной на всем участке АВ движущей силе Р мотоцикл в точке В приобретает скорость и перелетает через ров шириной d, находясь в воздухе Т с и приземля­ясь в точке С со скоростью . Масса мотоцикла с мотоциклистом равна m.

При решении задачи считать мотоцикл с мотоциклистом матери­альной точкой и не учитывать силы сопротивления движению.

Вариант 11. Дано: = 30°; ; l = 40 м; = 0; = 4,5 м/с; d = 3 м. Определить и h.

Вариант 12. Дано: = 30°; P = 0; l = 40 м; = 4,5 м/с; h = 1,5 м. Определить и d.

Вариант 13. Дано: = 30°; m = 400 кг, = 0; = 20 с; d = 3 м; h = 1,5 м. Определить Р и l.

Вариант 14. Дано: = 30°; m = 400 кг, Р = 2,2 кН; = 0; l = 40 м; d = 5 м. Определить и .

Вариант 15. Дано: = 30°; = 0; Р = 2 кН; l = 50 м; h = 2 м; d = 4 м. Определить T и m.

Варианты 16—20 (рис. 10.8). Камень скользит в течение с по участку АВ откоса, составляющему угол с горизонтом и имеющему длину l. Его начальная скорость . Коэффициент трения скольжения камня по откосу равен f. Имея в точке В скорость , камень через T с ударяется в точке С о вертикальную защитную стену. При решении задачи принять камень за материальную точку, сопротивление воздуха не учитывать.

Вариант 16. Дано: = 30°; = 1 м/с; l = З м; f = 0,2; d = 2,5 м. Определить h и Т.

Вариант 17. Дано: = 45°; l = 6 м; = 2; = 1 с; h = 6 м. Определить d и f.

Вариант 18. Дано: = 30°; l = 2 м; = 0; f = 0,1; d = 3 м. Определить h и .

Вариант 19. Дано: = 15°; l = 3 м; = 3 м/с; ; = 1,5 с; d = 2 м. Определить и h.

Рис. 10.5 Рис. 10.6

 

Рис. 10.7 Рис. 10.8

Рис. 10.9 Рис. 10.10

Рис. 2.4.1

 

Вариант 20. Дано: = 45°; =0; f = 0,3; d = 2 м; h = 4 м. Определить l и .

Варианты 21—25 (рис. 10.9). Тело движется из точки А по участку АВ (длиной l) наклонной плоскости, составляющей угол с горизонтом. Его начальная скорость . Коэффициент трения скольжения равен f. Через с тело в точке В со скоростью по­кидает наклонную плоскость и падает на горизонтальную плоскость в точку С со скоростью ; при этом оно находится в воздухе T с.

При решении задачи принять тело за материальную точку и не учитывать сопротивление воздуха.

Вариант 21. Дано: = 30°; f = 0,1; = 1 м/с; = 1,5 с; h = 10 м. Определить и d.

Вариант 22. Дано: = 0; = 45°; l = 10 м; = 2 с. Определить / и уравнение траектории на участке ВС.

Вариант 23. Дано: f = 0; = 0; l = 9,81 м; = 2 с; h = 20 м. Определить и Т.

Вариант 24. Дано: = 0; = 30°; f = 0,2; l = 10 м; d = 12 м. Определить и h.

Вариант 25. Дано: = 0; = 30°; f = 0,2; l = 6 м; h = 4,5 м. Определить и .

Варианты 26—30 (рис. 10.10). Имея в точке А скорость , тело движется по горизонтальному участку АВ длиной l в течение с. Коэффициент трения скольжения тела по плоскости равен f. Со скоростью тело в точке В покидает плоскость и попадает в точку С со скоростью , находясь в воздухе Т с. При решении задачи принять тело за материальную точку, сопротивление воздуха не учитывать.

Вариант 26. Дано: = 7 м/с; f = 0,2; l = 8 м; h = 20 м. Определить d и .

Вариант 27. Дано: = 4 м/с; f =0,1; = 2 с; d = 2 м. Определить и h.

Вариант 28. Дано: = 3 м/с; f = 0,3; l = 3 м; h = 5 м. Определить и Т.

Вариант 29. Дано: = 3 м/с; = 1 м/с; l = 2,5 м; h = 20 м. Определить f и d.

Вариант 30. Дано: f = 0,25; l = 4 м; d = 3 м; h = 5 м. Определить и .

Вопросы для самоконтроля

(защиты контрольной работы)

 

1. Сформулируйте основные законы механики.

2. Какая система отсчета называется инерциальной?

3. Запишите основное уравнение динамики.

4. От каких переменных могут зависеть силы, рассматриваемые в теоретической механике?

5. Запишите дифференциальное уравнение движения материальной точки в векторной форме.

6. Запишите дифференциальные уравнения движения матери­альной точки в проекциях на оси прямоугольной декартовой системы координат.

7. Запишите дифференциальные уравнения движения материальной точки в проекциях на естественные оси.

8. Сформулируйте первую задачу динамики для материальной точки.

9. Сформулируйте вторую задачу динамики для материальной точки и порядок ее решения.

Д–11. Исследование поступательного движения механической системы с применением теоремы о движении центра масс

11.1. Цели:

выяснить область применения общих теорем механики при исследовании динамического поведения механических систем;

приобрести практические навыки решения конкретных технических задач.

 

Базовые понятия теории и методические рекомендации по решению задач

А. Теорема о движении центра масс

Центром масс механической системы называется геометрическая точка С про­странства, определяемая радиус-вектором   ,

Б. Теорема об изменении количества движения

Количеством движения материальной точки называется произ­ведение массы точки на ее скорость, т.е. вектор . Количеством движения механической системы называется вектор, равный сумме количеств движения точек системы.

А. Теорема о движении центра масс

1. Построить расчетную схему задачи: изобразить схему рассматриваемой механической системы; изобразить на ней все внешние силы, в том числе реакции внешних связей;

Б. Теорема об изменении количества движения

1. Построить расчетную схему задачи: изобразить схему рассматриваемой механической системы; изобразить на ней все внешние силы, в том числе реакции внешних связей;

Примеры решения задач

Задача 11.3.1. Механизм, состоящий из груза А массой 50 кг, блока В массой 80 кг (больший радиус R = 30 см, меньший r = 10 см) и цилиндра С массой 120 кг радиусом RC = r/2, установлен на призме D массой 210 кг, находящейся на горизонтальной плоскости. Трение между призмой и плоскостью отсутствует. Груз А получает переме­щение S = 1,2 м относительно призмы вдоль ее поверхности влево; α = 75° (рис. 11.1). Куда и на какое расстояние переместится призма?

Решение.

  Рис. 11.1 Рис. 11.2

Вопросы для самоконтроля

(защиты контрольной работы)

1.Запи­шите формулы для координат центра масс.

2. Сформулируйте теорему о движении центра масс механиче­ской системы.

3. При каком условии проекция скорости центра масс на некоторую ось не изменяется при движении системы?

4. При каких условиях центр масс не перемещается вдоль дан­ной оси?

5. Как определяется количество движения материальной точки и механической системы?

6. Как определяется импульс переменной силы за конечный промежуток времени?

7. Сформулируйте теорему об изменении количества движения в дифференциальной и конечной формах.

8. Запишите теорему об изменении количества движения в дифференциальной форме в проекциях на координатные оси.

9. Запишите теорему об изменении количества движения в интегральной форме в проекциях на координатные оси.

10. При каком условии количество движения механической системы сохраняется?

11. При каком условии сохраняется проекция на данную ось количества движения механической системы?

Д–12. Определение динамических характеристик

Движения механической системы с использованием теоремы об изменении кинетической энергии

 

12.1. Цели:

1. Выяснить область применения теоремы об изменении кине­тической энергии при исследовании динамического поведения механических систем.

2. Научиться вычислять кинетическую энергию твердого тела в различных случаях его движения и системы, состоящей из твердых тел.

3. Освоить методику применения теоремы об изменении кинетической энергии для определения динамических характеристик движения механической системы.

Базовые понятия теории и методические рекомендации по решению задач

  или

Кинетическая энергия твердого тела при различном движении.

  .  

Примеры решения задач

Задача12.3.1. Груз 3 массы т3 поднимается лебедкой, приводя­щейся в движение электромотором А (рис. 12.1). Передача движения от вала I на вал II осуществляется с помощью пары зубчатых колес 1 и 2. Трос, к концу которого прикреплен груз, наматывается на бара­бан В радиуса r. Определить закон изменения угловой скорости вала I, если со стороны электромотора на вал действует вращающий момент , где М0 и а - положи­тельные постоянные, характеризующие мо­тор; - угловая ско­рость вала I (электромо­тора). Числа зубьев ко­лес z1 и z2, моменты инерции валов лебедки I1 и I2. Сопротивлением движению и массой троса пренебречь.

 

Рис. 12.1

 

Решение. Рассмотрим систему, состоящую из ротора электро­мотора D, лебедки и поднимаемого груза (рис. 12.2). Система имеет одну степень свободы, если тела, входящие в эту систему, абсолют­но твердые, трос нерастяжимый, а раскачивание груза при подъеме отсутствует. Система является неизменяемой, если дополнительно положить, что трос является абсолютно гибким.

Составим дифференциальное уравнение движения системы, приняв за координату, определяющую ее положение, угол поворота электромотора .

Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме

. (12.5)

 

Рис. 12.2

 

Дальнейшая последовательность действий определяется струк­турой этой формулы.

Вычислим кинетическую энергию системы как сумму кинетиче­ских энергий тел, входящих в ее состав,

 

. (12.6)

 

Кинетическая энергия вала I (имеется в виду совокупность тел: вал лебедки с колесом 1, муфта, связывающая валы электромотора и лебедки (на рисунке не показана) и ротор электромотора), вращаю­щегося с угловой скоростью :

. (12.7)

 

Кинетическая энергия вала II (имеется в виду совокупность тел: вал, барабан и колесо 2), вращающегося с угловой скоростью :

 

. (12.8)

 

Кинетическая энергия груза, движущегося поступательно со скоростью vз:

. (12.9)

 

Подставляя (12.7)-(12.9) в формулу (12.6), получаем

 

. (12.10)

 

Воспользуемся соотношением , выражающим равен­ство скоростей точек на ободах зубчатых колес; из него находим

 

. (12.11)

 

Кроме того, , или, с учетом формулы (12.11),

 

. (12.12)

 

Подставим (12.11) и (12.12) в формулу (12.10). Поскольку отноше­ние радиусов колес r1 и r2 можно заменить отношением чисел зубьев z1 и z2, то

 

. (12.13)

 

Введем обозначение

.

 

и, учитывая, что , получаем

 

,

откуда

. (12.14)

 

Вычислим теперь сумму мощностей внешних сил. Из внешних сил, действующих на рассматриваемую систему, на расчетной схеме показаны только силы, мощность которых не равна нулю, - это вра­щающий момент и сила тяжести груза. Точки приложения других внешних сил (силы тяжести валов I и II со всеми деталями, силы тяжести муфты, ротора электромотора, реакций подшипников) неподвижны, поэтому мощность этих сил равна нулю. Мощность мо­мента равна , мощность силы тяжести груза

Таким образом,

,

 

или, учитывая (12.12), а также, что получаем

 

. (12.15)

 

Введем обозначение , тогда

 

. (12.16)

 

Приравнивая, согласно (12.5), правые части соотношений (12.14) и (12.16), получаем после сокращения на , дифференциальное урав­нение движения системы:

. (12.17)

 

Поскольку приведенный момент инерции является постоян­ным, а силовой момент - функция угловой скорости , то уравнение (12.17) можно записать в виде

 

. (12.18)

 

Для определения закона изменения угловой скорости перепи­шем последнее уравнение в виде

. (12.19)

 

Построим общее решение уравнения (12.19). Поскольку оно яв­ляется неоднородным линейным дифференциальным уравнением первого порядка, то

. (12.20)

 

где - общее решение однородного уравнения ; - частное решение неоднородного уравнения (12.19).

 

Для определения функции запишем характеристическое уравнение и найдем его корень . Следовательно,

 

. (12.21)

 

Частное решение уравнения (12.19) разыскиваем в виде

 

. (12.22)

 

Для определения постоянной А следует подставить (12.22) в уравнение (12.19):

.

 

Таким образом, общее решение уравнения (12.19) имеет вид

 

. (12.23)

 

Постоянную интегрирования С определим из начального усло­вия :

.

 

Подставляя найденное значение постоянной С в (12.23), получаем закон изменения угловой скорости первого вала

 

. (12.24)

 

Из найденного решения следует, что по истечении некоторого промежутка времени первый вал будет вращаться с постоянной угловой скоростью

.

Задача 12.3.2. Груз 3 массы т3 перемещается по наклонной плоско­сти, образующей угол с горизонтом, электрической лебедкой, со­стоящей из зубчатого колеса 1 радиуса R1 и находящегося с ним в зацеплении колеса 2 радиуса R2, на одном валу с которым находится барабан радиуса r2, на который навивается трос, прикрепленный к грузу (рис. 12.3).

К колесу 1 приложен со стороны мотора постоянный вращающий момент М1 на валу колеса 2 действует постоянный момент сопротив­ления М2. Определить угловую скорость колеса 1 как функцию его угла поворота, если I1 - момент инерции ведущего вала (вал и колесо l); I2- момент инерции ведомого вала (вал, ко­лесо 2 и барабан); f -коэффициент трения скольжения груза о наклонную плоскость. Трос считать нерастя­жимым, невесомым и не сопротивляющим­ся изменению формы. Движение начинается из состояния покоя. Центры масс вращаю­щихся тел находятся на осях вращения.

 

 

Рис. 12.3

 

Решение. Рассмотрим систему, состоящую из тел 1-3 и троса. Поскольку тела абсолютно твердые, а трос нерастяжимый, то систе­ма имеет одну степень свободы. Будем определять положение сис­темы с помощью угла поворота ведущего вала. Заметим также, что система является неизменяемой. Поскольку движение системы происходит под действием постоянных сил, работу которых можно вычислить, не зная закона движения системы, то для решения задачи удобно использовать теорему об изменении кинетической энер­гии в конечной форме для неизменяемых систем

 

. (12.25)

 

Определим приращение кинетической энергии системы на пе­ремещении из начального положения в некоторое конечное, зада­ваемое углом . Кинетическая энергия системы в начальном поло­жении Т0= 0 (по условию). Кинетическая энергия системы в конеч­ном положении равна сумме кинетических энергий ведущего и ве­домого валов и груза:

 

,

 

где - угловая скорость ведущего и ведомого валов соответст­венно; v3 - скорость груза (рис. 12.4).

 

 

Рис. 12.4

Поскольку

,

то

,

или

,

где

.

 

Таким образом, приращение кинетической энергии системы на рассматриваемом перемещении найдено как функция угловой ско­рости ведущего вала в конечном положении:

 

. (12.26)

 

Внешними силами, действующими на систему, являются вра­щающий момент М1 момент сопротивления М2, силы тяжести тел , реакции подшипников ведущего вала , реакции под­шипников ведомого вала и реакции плоскости: сила трения и нормальная реакция . Вычислим теперь работу внешних сил на перемещении системы из начального положения в конечное:

1) работа вращающего момента равна ;

2) работа момента сопротивления равна , где -угол поворота ведомого вала;

3) работы сил , а также , равны нулю, так как эти силы приложены в неподвижных точках;

4) работа силы равна нулю, так как эта сила перпендику­лярна перемещению точки ее приложения;

5) работа силы равна , где s3 - перемещение груза;

6) работа силы трения равна (), где .

Таким образом,

 

.

Но

,

поэтому

.

или

, (12.27)

где

.

 

Приравнивая, согласно (12.25), правые части формул (12.26) и (12.27), получаем

,

откуда

. (12.28)

 

Таким образом, искомая зависимость имеет вид:

 

.

Вопросы для самоконтроля

(защиты контрольной работы)

 

1. Что называется кинетической энергией материальной точки?

2. Что называется кинетической энергией механической системы?

3. Сформулируйте теорему Кенига.

4. Получите формулы для вычисления кинетической энергии твердого тела при поступательном, вращательном и плоско­параллельном его движениях.

5. Как вычисляется работа силы упругости и силы тяжести?

6. На каких перемещениях работа силы тяжести а) положительна, б) отрицательна, в) равна нулю?

7. При каких условиях работа силы упругости положительна; отрицательна?

8. Как определяется работа постоянной по модулю и направле­нию силы на прямолинейном перемещении?

9. Чему равна работа постоянной по модулю и направлению силы трения скольжения?

10. Что называется мощностью силы?

11. Как определяется работа и мощность силы, приложенной к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси?

12. Сформулируйте теорему об изменении кинетической энергии механической системы в дифференциальной форме (в форме мощностей).

13. Сформулируйте теорему об изменении кинетической энергии механической системы в конечной (интегральной) форме.

Задания

 

Для приведенных на схемах 1-30 механических си­стем, используя теорему об изменении кинетической энер­гии в интегральной форме, определить угловую скорость (варианты 4, 6, 7, 9, 11, 18, 25, 26, 28) или линейную скорость (остальные варианты) тела 1 после его заданного перемещения φ1 = 2π рад или s1 = 2 м. Движение начина­ется из состояния покоя.

 

 

 

Д–13. Исследование движения механической системы с применением общего уравнения динамики

 

13.1. Цель: практическое освоение общего уравнения дина­мики как инструмента для состав­ления дифференциальных уравнений движения механических систем с одной степенью свободы.

Базовые понятия теории и методические

Рекомендации по решению задач

При движении механической системы в каждый момент времени сумма элемен­тарных работ активных сил и сил инерции на любом возможном перемещении…   , (13.1)

Примеры решения задач

Задача 8.2.1. Составить дифференциальное уравнение движения механической системы, состоящей из груза 1, блока 2 и катка 3, имеющих соответственно массы т1, т2, т3, и пружины с коэффици­ентом жесткости с (рис. 13.1). Груз и каток, расположенные на наклонных плоскостях, составляющих с горизонтом углы и , связаны невесомой и нерастяжимой нитью, перекинутой через блок. Тре­нием груза о плоскость, массой пружины и сопротивлением каче­нию пренебречь. Проскальзывание нити на блоке отсутствует. Каток катится без скольжения. Блок считать однородным цилиндром, мо­мент инерции катка относительно центральной оси равен , радиусы ступеней катка R и r.

Решение. Рассматриваемая система имеет одну степень свобо­ды при выполнении следующих условий:

1. Тела, входящие в систему, абсолютно твердые.

2. Нить нерастяжимая и при движении системы всегда натянута.

3. Проскальзывание нити на блоке отсутствует.

4. Каток катится без скольжения.

 

Рис. 13.1

 

Будем определять положение системы с помощью координаты х, направив соответствующую ось Ох параллельно наклонной плос­кости, на которой расположен груз. Начало оси совместим с поло­жением центра масс груза при равновесии системы (рис. 13.2). Пусть , и - соответствующие координате х углы поворота блока и катка и смещение центра масс катка от положения его равновесия.

(13.3)

где - радиус блока.

Для составления дифференциального уравнения движения вос­пользуемся общим уравнением динамики. Построим расчетную схему задачи. Изобразим на рисунке активные силы , , , реакцию неидеальной связи (пружины) ; приложим к телам сис­темы силы инерции.

Рис. 13.2

 

Груз движется поступательно. Силы инерции его частиц эквива­лентны равнодействующей

, (13.4)

приложенной в центре масс (- ускорение груза).

Блок вращается вокруг главной центральной оси инерции. Силы инерции его частиц эквивалентны паре сил с моментом

 

, (13.5)

 

где - момент инерции блока относительно оси вращения.

Вектор направлен по оси вращения блока противоположно вектору углового ускорения . На расчетной схеме это отражено дуговыми стрелками противоположного направления.

Каток совершает плоское движение. Силы инерции его частиц эквивалентны системе, состоящей из одной силы

 

, (13.6)

 

приложенной в центре масс катка (- ускорение центра масс), и пары сил с моментом

, (13.7)

где - угловое ускорение катка.

Сообщим грузу возможное перемещение . Возможным пере­мещением блока является поворот на угол вокруг собственной оси. Возможным перемещением катка является поворот на угол вокруг оси, проходящей через мгновенный центр скоростей Р3 пер­пендикулярно плоскости рисунка. Векторы и направлены по соответствующим осям, на расчетной схеме направления воз­можных поворотов блока и катка показаны дуговыми стрелками.

Запишем общее уравнение динамики

 

. (13.8)

 

Заметим, что элементарная работа силы равна нулю, так как равно нулю возможное перемещение точки ее приложения.

Подставив в уравнение (13.8) формулы (13.4)-(13.7) и раскрыв ска­лярные произведения, получим

. (13.9)

 

Используя формулы (13.3), находим

 

(13.10)

(13.11)

 

Подставляя формулы (13.10) и (13.11) в уравнение (13.9), находим после сокращения на и простых преобразований:

 

(13.12)

 

Из уравнения (13.12) легко получить условие равновесия систе­мы. Действительно, поскольку

, (13.13)

 

где - статическая деформация пружины, то, подставляя (13.13) в уравнение (13.12) и имея в виду, что при равновесии x = 0, = 0, на­ходим

 

. (13.14)

 

С учетом условия (13.14) уравнение (13.12) принимает вид

 

(13.15)

 

Назовем приведенной массой и приведенной жесткостью величины

.

 

Тогда дифференциальное уравнение (13.15) можно записать в виде

 

, (13.16)

где

.

Задача 8.2.2. Груз 3 массы т3 поднимается с помощью устройства, состоящего из шкивов 1 и 2, связанных невесомым ремнем (рис. 13.3). К ведущему шкиву 1 радиуса R1 при­ложена пара сил с посто­янным моментом М. Оп­ределить угловое уско­рение ведущего шкива, если R2, r2 - радиусы ступеней ведомого шки­ва; I1 и I2 - моменты инерции шкивов относи­тельно осей их вращения. Сопротивлением и мас­сой троса пренебречь.

 

Рис. 13.3

 

Решение. Рассмат­риваемая механическая система имеет одну степень свободы, если выполняются следующие условия:

1. Тела 1, 2, 3 - абсолютно твердые.

2. Ремень и трос нерастяжимые.

3. Проскальзывание ремня на шкивах отсутствует.

4. Груз поднимается, не раскачиваясь (по направляющим).

Построим расчетную схему задачи. Связи, наложенные на сис­тему, являются идеальными. Поэтому на расчетной схеме (рис. 13.4) показаны только активные силы (вращающий момент и силы тяже­сти тел) и силы инерции.

Рис. 13.4

 

Шкив 1 вращается вокруг своей главной центральной оси инер­ции. Поэтому система сил инерции его частиц эквивалентна паре сил, момент которой направлен противоположно угловому ускоре­нию шкива и имеет величину

. (13.17)

 

Шкив 2 также вращается вокруг своей главной центральной оси инерции. Поэтому система сил инерции его частиц эквивалентна паре сил, момент которой направлен противоположно угловому ускорению шкива и имеет величину

. (13.18)

 

Груз движется поступательно. Система сил инерции частиц гру­за эквивалентна равнодействующей силе, которая приложена в цен­тре масс, направлена противоположно его ускорению и имеет вели­чину

 

. (13.19)

 

Сообщим шкиву 1 возможное перемещение . Шкив 2 и груз 3 получат при этом возможные перемещения и соответствен­но. Запишем общее уравнение динамики

 

. (13.20)

 

Нетрудно установить, что

 

, (13.21)

. (13.22)

 

Подставив формулы (13.17)-(13.19), (13.22) в уравнение (13.20), по­лучим, с учетом (13.21), уравнение

.

 

из которого, после сокращения на находим

 

.

 

Задания

 

Для приведенных на схемах 1-30 механических си­стем опре­делить указанное на схеме угловое ускорение или линей­ное ускорение. Нити невесомы и нерастяжимы. Принятые обозначения: т — массы тел, R и r — радиусы, ρ — ради­ус инерции (если он не указан, тело считать однородным цилиндром); при наличии трения указываются: f — коэф­фициент трения скольжения, fк — коэффициент трения качения.

 

 

 

 

Вопросы для самоконтроля

(защиты контрольной работы)

 

1. Что называется связью?

2. Что называется возможным перемещением материальной точки?

3. Что называют возможными перемещениями механической системы?

4. Какие связи называются идеальными?

5. Что называется обобщенными координатами механической системы?

6 Сформулируйте принцип возможных перемещений.

7. В каких формах можно записывать уравнение работ, выражающее принцип возможных перемещений?

8.Какой вид имеет общее уравнение динамики?

9. Каковы особенности применения общего уравнения динамики к исследованию движения механических систем с одной степенью свободы?

 

Д–14. Исследование движения механической системы с применением уравнений Лагранжа второго рода

14.1. Цель: освоить один из основных методов составления дифференциальных уравнений движения механических систем - метод уравнений Лагранжа второго рода.

Базовые понятия теории и методические рекомендации по решению задач

Дифференциальные уравнения движения голономной механи­ческой системы в обобщенных координатах, или уравнения Ла­гранжа второго рода, имеют вид: (14.1)  

Примеры решения задач

Задача 14.3.1. К нижнему шкиву 3 подъемника (рис.14.1) приложен постоянный вращающий момент М. Определить ускорение груза 1 массы т1, поднимаемого вверх, если масса противовеса 2 равна т2, шкивы 3 н 4 массы т3 каждый представляют собой однородные цилиндры радиуса r. Массой ремня и трением в подшипниках шкивов пренебречь.

 

Рис. 14.1 Рис. 14.2

 

Решение. Система имеет одну сте­пень свободы, если тела, входящие в сис­тему, считать абсолютно твердыми, ре­мень нерастяжимым, а проскальзывание ремня на шкивах отсутствующим. При этих предположениях положение системы вполне определяется углом поворота ведущего шкива 3, который будем отсчи­тывать в направлении вращения шкива. Имея в виду цель задачи, примем за обобщенную координату перемещение s груза 1 (рис.14.2). Запишем уравнение Лагранжа

 

. (14.2)

 

Вычислим кинетическую энергию системы как сумму кинетических энер­гий тел, входящих в ее состав,

.

 

Так как тела 1 и 2 движутся поступа­тельно, а тела 3 и 4 совершают враща­тельное движение, то

 

,

 

где - скорости груза и противовеса, - угловые скорости шкивов, - моменты инерции шкивов относительно их осей вращения.

Таким образом,

. (14.3)

 

Запишем выражение (14.3) в обобщенных координатах. Заме­тив, что

,

 

получаем после подстановки последних формул в (14.3):

 

. (14.4)

 

Таким образом, в рассматриваемом случае кинетическая энергия системы является функцией только обобщенной скорости.

Вычислим производные от кинетической энергии, входящие в уравнение (14.2):

(14.5)

, (14.6)

. (14.7)

 

Найдем обобщенную силу. Заметив, что связи, наложенные на систему, являются идеальными, вычислим сумму работ вращающего момента и сил тяжести на перемещении системы из положения, в котором обобщенная координата равна нулю, в произвольное положение с координатой s > 0:

Поскольку , то

откуда

. (14.8)

 

Подставляя формулы (14.5), (14.7) и (14.8) в уравнение (14.2), получаем дифференциальное уравнение движения системы

, (14.9)

 

из которого находим ускорение груза

 

.

 

Задача 14.3.2. Грузоподъемная установка (рис. 14.3) состоит из бараба­на 1 массой m1= 200 кг и радиусом r= 0,2 м, невесомого нерастяжимого троса, который перемещает груз 2 по на­клонной плоскости, составляющий угол α = 30° с гори­зонтом. Масса груза т2 = 1000 кг, коэффициент трения между грузом и наклонной плоскостью f = 0,2. К бараба­ну приложен вращающий момент М = 1,6 кНм. Опреде­лить величину ускорения груза а. Барабан считать одно­родным цилиндром.

Рис. 14.3 Рис. 14.4

 

Решение. Рассматриваемая система имеет одну сте­пень свободы (s = 1) и может быть описана одним уравне­нием Лагранжа второго рода

 

 

В качестве обобщенной координаты выберем координа­ту х груза на наклонной плоскости q = x, тогда обобщенная скорость будет являться скоростью груза.

Кинетическая энергия системы имеет вид

 

,

 

где ω — угловая скорость барабана; J — его момент инер­ции относительно оси вращения. Для однородного цилиндра

и, следовательно, J = 4 кгм2.

При учете кинематической связи v = ωr, т. е. кинетическая энергия запишется в виде

.

 

где приведенная (к грузу) масса системы равна

 

кг.

 

Вычислим производные, входящие в левую часть урав­нения Лагранжа. Частная производная по обобщенной координате

 

 

так как кинетическая энергия явно от координаты х не зависит. Частная производная по обобщенной скорости

 

.

 

Полная производная по времени

 

 

дает левую часть уравнения Лагранжа.

Входящую в правую часть уравнения обобщенную силу Q вычислим через возможную работу. Рассмотрим дей­ствующие в системе силы (рис. 14.4) и придадим телам системы возможное перемещение: бесконечно малое пере­мещение груза δх и поворот барабана на бесконечно ма­лый угол δφ. Соотношение между этими величинами мож­но получить из уравнения кинематической связи v = ωr. Интегрируя обе части этого уравнения по времени, находим

,

или

,

 

где С — постоянная интегрирования.

Варь­ируя последнее соотношение, получаем равенство

 

,

 

которое в данном случае имеет простой геометрический смысл — равенство длины дуги окружности произведе­нию радиуса на величину угла в радианах.

На возможном перемещении работу будут совершать сила трения

,

сила тяжести груза

и вращающий момент

.

 

Таким образом, возможная работа для механической системы будет равна

 

,

 

где Fnp — приведенная сила системы.

Поскольку для системы с одной степенью свободы воз­можная работа записывается в виде δА = Qδq, и в нашей задаче δq = δx, сравнивая последние два соотношения, находим Q = Fnp, т. е. обобщенная сила является в данной постановке задачи приведенной силой

 

.

 

Вычислим ее, учитывая, что

 

.

Тогда

.

 

Составляем теперь уравнение Лагранжа, приравнивая правую и левую части: тnpа = Fnp, откуда находим ускорение груза

 

.

 

Задача 14.3.3. В планетарном механизме, расположенном в гори­зонтальной плоскости, колесо 1 неподвижно (рис. 14.5). К рукоятке О1О3 приложен постоянный вращающий момент М. Определить уг­ловое ускорение рукоятки, считая колеса 2 и 3 однородными диска­ми с одинаковыми массами т и радиусами r. Массой рукоятки и сопротивлением пренебречь.

Рис. 14.5

 

Решение. Система имеет одну степень свободы. За обобщенную координату принимаем угол поворота рукоятки (рис. 14.6), тогда обобщенная скорость будет . Уравнение Лагранжа второго рода запишется в виде

. (14.10)

 

Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энер­гий колес 2 и 3:

. (14.11)

 

Предполагая, что колеса 2 и 3 совершают плоское движение, определяем их кинетические энергии по теореме Кёнига:

 

. (14.12)

 

Рис. 14.6

 

Найдем скорости центров масс колес:

 

. (14.13)

 

Угловую скорость колеса 2 определим с помощью мгновенного центра скоростей этого звена (точка , рис. 14.6):

 

. (14.14)

 

Колесо 3 движется поступательно, так как скорости его точек А и равны, поэтому

. (14.15)

 

Моменты инерции колес

. (14.16)

 

Подставляя (14.12) в (14.11) с учетом (14.13)—(14.16), получаем кинетическую энергию системы как функцию обобщенной скорости

 

. (14.17)

 

Вычислим производные от кинетической энергии системы, вхо­дящие в уравнение (14.10):

. (14.18)


Для определения обобщенной силы сообщаем рукоятке возмож­ное перемещение и вычисляем сумму элементарных работ актив­ных сил на возможных перемещениях точек их приложения. Так как связи, наложенные на систему, являются идеальными, а механизм расположен в горизонтальной плоскости (поэтому работа сил тяже­сти колес равна нулю), то

 

,

откуда

. (14.19)

 

Подставив (14.18) и (14.19) в (14.10), получим дифференциаль­ное уравнение движения механизма

 

,

из которого находим угловое ускорение рукоятки

 

.

14.4. Задания Д–6

 

Для приведенных на схемах 1-30 механических си­стем, используя уравнения Лагранжа второго рода, опре­делить указанное на схеме угловое ускорение или линей­ное ускорение. Нити невесомы и нерастяжимы. Принятые обозначения: т — массы тел, R и r — радиусы, ρ — ради­ус инерции (если он не указан, тело считать однородным цилиндром); при наличии трения указываются: f — коэф­фициент трения скольжения, fк — коэффициент трения качения.

 

 

Вопросы для самоконтроля

(защиты контрольной работы)

 

1. Какой вид имеют уравнения Лагранжа второго рода? уравнений для данной механической системы?

2. Функцией каких переменных является кинетическая энергия механической системы в обобщенных координатах?

3. Что представляют собой уравнения Лагранжа второго рода: систему дифференциальных уравнений в обыкновенных или в частных производных?

4. Какой вид имеют уравнения Лагранжа второго рода для консервативной системы?

5. Как определяются обобщенные силы? Каково их число для данной механической системы?

6. Как формулируется вторая задача динамики в обобщенных координатах?

 

ЛИТЕРАТУРА

 

1.Тарг, С.М. Краткий курс теоретической механики: Учеб. Для втузов/ С.М. Тарг.-18-е изд., стер.- М.: Высш.шк.,2008. -416 с.

2. Яблонский А.А., Никифорова В.М. Курс теоретической механики: Учебник. 11-е изд.,стер.-СПб.: Издательство «Лань», 2004.-768 с.

3.Тарасов В.Н., Бояркина И.В., Коваленко М.В., Федорченко Н.П., Фисенко Н.И. Теоретическая механика: Учебное пособие. -М.: изд-во ТрансЛит, 2010.-560 с.

4. Доев В.С., Доронин Ф.А. Сборник заданий по теоретической механике на базе Mathcad:Учебное пособие.-СПб.: Издательство «Лань», 2010.-592 с..-(Учебники для вузов. Специальная литература).

5. Арсеньев О.Н., Степаненков О.С., Шаповалов А.В. и др.; под общ. ред. С.К. Слезкинского.-СПб.: Политехника, 2007.-487 с.

6. Диевский В.А., Малышева И.А. Теоретическая механика. Сборник заданий: Учебное пособие.-СПб.: Издательство «Лань», 2007.-192 с.-(Учебники для вузов. Специальная

литература).

7. Стативка В.С., Хлюпин В.А., шабаев В.Н. Теоретическая механика. Руководство по решению задач. Статика: Учеб. пособие. – СПб: ВАТТ, 2010. – 285 с.

8. Стативка В.С., Хлюпин В.А., шабаев В.Н. Теоретическая механика. Руководство по решению задач. Кинематика: Учеб. пособие. – СПб: ВАТТ, 2011. – 170 с.

9. Стативка В.С., Хлюпин В.А., шабаев В.Н. Теоретическая механика. Руководство по решению задач. Динамика: Учеб. пособие. – СПб: ВАТТ, 2011. – 185 с.

 

 

 

 

 

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Еще рефераты, курсовые, дипломные работы на эту тему:

Контрольная работа МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ Для самостоятельной работы и к выполнению контрольной работы для студентов заочного обучения всех специальностей
Информатика... Контрольная работа... Для направлений бакалавриата Землеустройство и кадастры...

Методические указания по выполнению экономической части дипломного проекта для студентов всех форм обучения специальности 190603А Сервис транспортных и технологических машин и оборудования (автомобильный транспорт)
Кубанский государственный технологический университет... Кафедра производственного и регионального менеджмента...

Методические указания по выполнению контрольной работы Страхование: Методические указания по выполнению контрольной работы / Новосиб
ФГОУ ВПО Новосибирский государственный аграрный университет... Экономический институт Страхование...

Методические указания по выполнению контрольных работ ДЛЯ СТУДЕНТОВ СПЕЦИАЛЬНОСТИ 030501.65 «Юриспруденция» заочной форм обучения
Составил к ю н доцент Закомолдин... Ученая степень звание Подпись ФИО...

Пример выполнения контрольной работы В данном документе показаны способы выполнения заданий в Excel, типичных для всех вариантов контрольной работы №2
В данном документе показаны способы выполнения заданий в Excel типичных для всех вариантов контрольной работы В отчет по работе который... Имеется таблица с наименованиями работ В таблице приведены данные по учету выполнения этих работ бригадами...

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ по выполнению курсовой работы по дисциплине гидрогазодинамика для студентов специальности 140104 Промышленная теплоэнергетика очной формы обучения
Воронежский государственный технический университет... Кафедра промышленной теплоэнергетики...

БУХГАЛТЕРСКИЙ УЧЕТ И ФИНАНСОВО-КРЕДИТНАЯ СИСТЕМА Методические рекомендации по изучению предмета. Задания для контрольных работ и рекомендации по их выполнению для учащихся заочной формы обучения
УПРАВЛЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ БРЕСТСКОГО ОБЛИСПОЛКОМА... УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ...

Информатика: Задания и метод. указания по выполнению, оформлению и защите курсовых работ для студентов дневной и заочной форм обучения специальностей 1-36 01 01, 1-36 01 03, 1-53 01 01
УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ... БАРАНОВИЧСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ... Кафедра информационных систем и технологий...

Методические указания по выполнению контрольных работ для студентов факультета экономики и предпринимательства
На сайте allrefs.net читайте: " Методические указания по выполнению контрольных работ для студентов факультета экономики и предпринимательства"

Задания для выполнения контрольной работы и лабораторной работы для самостоятельной работы студентов Менеджмент и маркетинг
На сайте allrefs.net читайте: "Задания для выполнения контрольной работы и лабораторной работы для самостоятельной работы студентов Менеджмент и маркетинг"

0.034
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • По категориям
  • По работам